関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとき、$f(x)^n$ ($n$ は自然数) も $x=a$ で微分可能であることを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとき、$f(x)^n$ ($n$ は自然数) も $x=a$ で微分可能であることを示す。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n=1$ のとき：$f(x)^1 = f(x)$ であり、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるから、題意は成り立つ。

(2) $n=k$ のとき、$f(x)^k$ が $x=a$ で微分可能であると仮定する。つまり、$f(x)^k$ は $x=a$ で微分可能である。

(3) $n=k+1$ のとき、$f(x)^{k+1}$ が $x=a$ で微分可能であることを示す。

$f(x)^{k+1} = f(x)^k \cdot f(x)$ である。

積の微分公式より、

$$$$

\frac{d}{dx} [f(x)^{k+1}] = \frac{d}{dx} [f(x)^k \cdot f(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)^k] \cdot f(x) + f(x)^k \cdot \frac{d}{dx} [f(x)]

$$$$

仮定より、$f(x)^k$ は $x=a$ で微分可能であり、$f(x)$ も $x=a$ で微分可能である。したがって、$\frac{d}{dx} [f(x)^k]|_{x=a}$ と $\frac{d}{dx} [f(x)]|_{x=a}$ は存在する。

$f(x)$ が微分可能ならば連続であるから、$f(a)$ は存在する。

したがって、

$$$$

\left.\frac{d}{dx} [f(x)^{k+1}]\right|_{x=a} = \left.\frac{d}{dx} [f(x)^k]\right|_{x=a} \cdot f(a) + f(a)^k \cdot \left.\frac{d}{dx} [f(x)]\right|_{x=a}

$$$$

は存在する。よって、$f(x)^{k+1}$ も $x=a$ で微分可能である。

(1), (2), (3) より、数学的帰納法により、$f(x)^n$ は $x=a$ で微分可能である。

3. 最終的な答え

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$f(x)^n$ （$n$ は自然数）も $x=a$ で微分可能である。