問題は以下の2つの命題とその対偶の真偽を調べ、それらが一致することを確認することです。 (1) $m$ は 4 の倍数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数 (2) $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数または $n$ は偶数 ここで、$m, n$ は自然数とします。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの命題とその対偶の真偽を調べ、それらが一致することを確認することです。

(1) $m$ は 4 の倍数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数

(2) $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数または $n$ は偶数

ここで、$m, n$ は自然数とします。

2. 解き方の手順

(1)

* 元の命題: $m$ は 4 の倍数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数

$m$ が 4 の倍数であるとき、$m=4k$ ($k$ は整数)と表せる。よって、$m = 2(2k)$ となり、$m$ は偶数である。したがって、元の命題は真である。

* 対偶: $m$ は偶数でない $\Rightarrow$ $m$ は 4 の倍数でない

$m$ は奇数 $\Rightarrow$ $m$ は 4 の倍数でない

$m$ が奇数であるとき、$m=2k+1$ ($k$ は整数)と表せる。このとき、$m$ は 4 の倍数ではない。したがって、対偶は真である。

元の命題と対偶の真偽は一致している。

(2)

* 元の命題: $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ $m$ は偶数または $n$ は偶数

$m+n$ が偶数であるとき、$m+n=2k$ ($k$ は整数)と表せる。$m$ と $n$ がともに奇数の場合、$m=2l+1, n=2p+1$ ($l, p$ は整数)とすると、$m+n = (2l+1) + (2p+1) = 2l + 2p + 2 = 2(l+p+1)$ となり、偶数となる。このとき、$m$ は偶数ではないし、$n$ も偶数ではないが、$m+n$ は偶数となるので元の命題は偽である。

* 対偶: $m$ は偶数または $n$ は偶数でない $\Rightarrow$ $m+n$ は偶数でない

$m$ が奇数かつ $n$ が奇数 $\Rightarrow$ $m+n$ は奇数

これは明らかに偽である。$m, n$ が奇数の場合、$m+n$ は偶数となる。つまり、$m = 2k+1$、$n=2l+1$ のとき $m+n = 2k+1 + 2l+1 = 2k + 2l + 2 = 2(k+l+1)$ であり、偶数となる。したがって対偶は偽である。

元の命題と対偶の真偽は一致している。

3. 最終的な答え

(1) 元の命題: 真、対偶: 真

(2) 元の命題: 偽、対偶: 偽