次の極限を求めよ。 (1) $\lim_{x \to 2} (2 + 2x + x^2)$ (2) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 3x + 1}$ (4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^2}$ (5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - x)$ (画像では×印がついていますが、計算します。) (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

(1) $\lim_{x \to 2} (2 + 2x + x^2)$

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 3x + 1}$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^2}$

(5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - x)$ (画像では×印がついていますが、計算します。)

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $x$ を 2 に近づけたときの $2 + 2x + x^2$ の極限を求める。

これは多項式なので、$x$ に 2 を代入するだけでよい。

(2) $x$ を -2 に近づけたときの $\frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4}$ の極限を求める。

まず、分子と分母を因数分解し、約分できる項があれば約分する。

$2x^2 + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2)$

$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

よって、$\frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(2x + 3)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{2x + 3}{x - 2}$

ここで、$x$ に -2 を代入する。

(3) $x$ を $\infty$ に近づけたときの $\frac{4x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 3x + 1}$ の極限を求める。

分子と分母を $x^2$ で割る。

$\frac{4x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 3x + 1} = \frac{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{-2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x}$, $\frac{2}{x^2}$, $\frac{3}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ は 0 に近づく。

(4) $x$ を 2 に近づけたときの $\frac{1}{(x - 2)^2}$ の極限を求める。

$x$ が 2 に近づくと $(x - 2)^2$ は 0 に近づき、$\frac{1}{(x - 2)^2}$ は無限大に発散する。

(5) $x$ を $\infty$ に近づけたときの $\sqrt{x^2 - 4x} - x$ の極限を求める。

$\sqrt{x^2 - 4x} - x = \frac{(\sqrt{x^2 - 4x} - x)(\sqrt{x^2 - 4x} + x)}{\sqrt{x^2 - 4x} + x} = \frac{x^2 - 4x - x^2}{\sqrt{x^2 - 4x} + x} = \frac{-4x}{\sqrt{x^2 - 4x} + x}$

分母と分子を $x$ で割る。

$\frac{-4x}{\sqrt{x^2 - 4x} + x} = \frac{-4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x}$ は 0 に近づく。

(6) $x$ を $\infty$ に近づけたときの $\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}$ の極限を求める。

分子と分母をそれぞれ有理化する。

$\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 1})(\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1})}{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1}} = \frac{x + 2 - (x - 1)}{x + 1 - x} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1}} = \frac{3}{1} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1}}$

$\frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1}}$ の分母と分子を $\sqrt{x}$ で割る。

$\frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x}$ と $\frac{2}{x}$ は 0 に近づく。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 2} (2 + 2x + x^2) = 2 + 2(2) + (2)^2 = 2 + 4 + 4 = 10$

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -2} \frac{2x + 3}{x - 2} = \frac{2(-2) + 3}{-2 - 2} = \frac{-4 + 3}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 3x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{-2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{4}{-2} = -2$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^2} = \infty$

(5) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + 1} = \frac{-4}{\sqrt{1} + 1} = \frac{-4}{2} = -2$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} 3 \cdot \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = 3 \cdot \frac{1 + 1}{1 + 1} = 3 \cdot \frac{2}{2} = 3$

(1) 10

(2) $\frac{1}{4}$

(3) -2

(4) $\infty$

(5) -2

(6) 3