関数 $y = \frac{6 - 2^x}{3^x - 3}$ のグラフの漸近線を、極限の計算を用いてすべて求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{6 - 2^x}{3^x - 3}$ のグラフの漸近線を、極限の計算を用いてすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、垂直漸近線を調べます。分母が0になる $x$ の値を求めます。

$3^x - 3 = 0$ を解くと、

$3^x = 3$

$x = 1$

次に、 $x = 1$ の付近での極限を調べます。

$\lim_{x \to 1} \frac{6 - 2^x}{3^x - 3}$ は $\frac{4}{0}$ の形になるので、極限は存在しません。

$x = 1$ の近くで分子は $4$ に近づき、分母は $0$ に近づくので、これは垂直漸近線となる可能性があります。

$x \to 1^+$ のとき、 $3^x - 3 > 0$ なので、 $\lim_{x \to 1^+} \frac{6 - 2^x}{3^x - 3} = \infty$

$x \to 1^-$ のとき、 $3^x - 3 < 0$ なので、 $\lim_{x \to 1^-} \frac{6 - 2^x}{3^x - 3} = -\infty$

したがって、$x = 1$ は垂直漸近線です。

次に、水平漸近線を調べます。$x \to \infty$ と $x \to -\infty$ のときの $y$ の極限を計算します。

$x \to \infty$ のとき、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 - 2^x}{3^x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{6/3^x - (2/3)^x}{1 - 3/3^x} = \frac{0 - 0}{1 - 0} = 0$

$x \to -\infty$ のとき、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{6 - 2^x}{3^x - 3} = \frac{6 - 0}{0 - 3} = \frac{6}{-3} = -2$

したがって、$y = 0$ と $y = -2$ は水平漸近線です。

3. 最終的な答え

グラフの漸近線は、$x = 1$, $y = 0$, $y = -2$ です。