問題は以下の2つの指数計算と1つの根号計算です。 (1) $(a^5)^2 \times a^{-7} = a^{(40)}$ (2) $a^3 \div a^{-5} = a^{(41)}$ (3) $\frac{\sqrt{12} \times \sqrt{30}}{\sqrt{48} \div \sqrt{75}} = \frac{(42)}{(43)}$

1. 問題の内容

問題は以下の2つの指数計算と1つの根号計算です。

(1) $(a^5)^2 \times a^{-7} = a^{(40)}$

(2) $a^3 \div a^{-5} = a^{(41)}$

(3) $\frac{\sqrt{12} \times \sqrt{30}}{\sqrt{48} \div \sqrt{75}} = \frac{(42)}{(43)}$

2. 解き方の手順

(1) 指数の計算

$(a^5)^2 \times a^{-7}$ を計算します。

指数の法則 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ と $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を使います。

$(a^5)^2 \times a^{-7} = a^{5 \times 2} \times a^{-7} = a^{10} \times a^{-7} = a^{10 + (-7)} = a^3$

したがって、(40)に入る数字は3です。

(2) 指数の計算

$a^3 \div a^{-5}$ を計算します。

指数の法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を使います。

$a^3 \div a^{-5} = a^{3 - (-5)} = a^{3+5} = a^8$

したがって、(41)に入る数字は8です。

(3) 根号の計算

$\frac{\sqrt{12} \times \sqrt{30}}{\sqrt{48} \div \sqrt{75}}$ を計算します。

まず、$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{30} = \sqrt{2 \times 3 \times 5}$, $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$, $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$ と変形します。

$\frac{\sqrt{12} \times \sqrt{30}}{\sqrt{48} \div \sqrt{75}} = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{30}}{4\sqrt{3} \div 5\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{30}}{\frac{4\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{30}}{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{30} \times 5}{4} = \frac{10\sqrt{90}}{4} = \frac{10\sqrt{9 \times 10}}{4} = \frac{10 \times 3\sqrt{10}}{4} = \frac{30\sqrt{10}}{4} = \frac{15\sqrt{10}}{2}$

したがって、(42)に入る数字は15で、(43)に入る数字は2です。

3. 最終的な答え

(40): 3

(41): 8

(42): 15

(43): 2