与えられた数式 $\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ を計算して、展開した形を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ を計算して、展開した形を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、括弧の中身を計算します。

$\frac{1}{2}n(n+1) = \frac{1}{2}(n^2 + n)$

次に、この式を2乗します。

$\left\{ \frac{1}{2}(n^2 + n) \right\}^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 (n^2 + n)^2$

$= \frac{1}{4} (n^2 + n)(n^2 + n)$

$= \frac{1}{4} (n^4 + n^3 + n^3 + n^2)$

$= \frac{1}{4} (n^4 + 2n^3 + n^2)$

最後に、$\frac{1}{4}$ を分配します。

$= \frac{1}{4}n^4 + \frac{2}{4}n^3 + \frac{1}{4}n^2$

$= \frac{1}{4}n^4 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}n^4 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^2$