2次関数 $y = -2x^2 + 8x - 5$ の最大値、または最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 8x - 5$ の最大値、または最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数の最大値・最小値を求めるには、平方完成を行う必要があります。

まず、$x^2$ の係数である -2 で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

$y = -2(x^2 - 4x) - 5$

次に、括弧の中を平方完成します。

$x^2 - 4x$ を $(x - a)^2 + b$ の形に変形することを考えます。 $(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$ なので、$2a=4$から、$a=2$となることがわかります。

$y = -2((x - 2)^2 - 4) - 5$

括弧を展開します。

$y = -2(x - 2)^2 + 8 - 5$

$y = -2(x - 2)^2 + 3$

この式から、グラフは頂点が $(2, 3)$ で、上に凸の放物線であることがわかります。

したがって、最大値は $3$ であり、最小値はありません。

3. 最終的な答え

最大値：3

最小値：なし