$(x+y+z)^6$ の展開式における $xy^2z^3$ の係数を、以下の手順で求める問題です。 (1) $(x+y+z)^6$ において、$x+y$を1つのものと考えて、二項定理で展開する。 (2) $(x+y)^k$ を展開したときの $xy^2$ の係数を利用する。

1. 問題の内容

$(x+y+z)^6$ の展開式における $xy^2z^3$ の係数を、以下の手順で求める問題です。

(1) $(x+y+z)^6$ において、$x+y$を1つのものと考えて、二項定理で展開する。

(2) $(x+y)^k$ を展開したときの $xy^2$ の係数を利用する。

2. 解き方の手順

(1) $(x+y+z)^6 = [(x+y)+z]^6$ を二項定理で展開します。$xy^2z^3$ が現れるのは、二項定理の一般項である ${}_6C_k (x+y)^k z^{6-k}$ において、$z$ の指数が 3 になるとき、つまり $6-k=3$ のときです。したがって、$k=3$ となります。よって、${}_6C_3 (x+y)^3 z^3$ から $xy^2z^3$ が現れます。

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、${}_6C_3 (x+y)^3 z^3 = 20 (x+y)^3 z^3$ となります。

(2) $(x+y)^3$ を展開すると、$xy^2$ の係数は ${}_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ です。

$xy^2z^3$ の係数は、$20(x+y)^3 z^3$ の展開における $xy^2z^3$ の項の係数であり、$20 \times 3 = 60$ となります。

3. 最終的な答え

10: 3

11: 3

12: 3

13: 60