問題は以下の3つです。 (春の数学問題演習 7.2) 正の実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$ を証明し、等号が成り立つための条件を求める。 (春の数学問題演習 7.3 (1)) 実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$ を証明し、等号が成り立つとき $a=b=c$ であることを証明する。 (春の数学問題演習 7.3 (2)) 実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $27(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^3$ を証明する。

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

(春の数学問題演習 7.2) 正の実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$ を証明し、等号が成り立つための条件を求める。

(春の数学問題演習 7.3 (1)) 実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$ を証明し、等号が成り立つとき $a=b=c$ であることを証明する。

(春の数学問題演習 7.3 (2)) 実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $27(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^3$ を証明する。

2. 解き方の手順

(春の数学問題演習 7.2)

調和平均、相加平均、相乗平均の関係を使う。

$a, b, c$ が正の実数であるから、$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ も正の実数である。

相加平均、調和平均の関係より、

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\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \geq \frac{3}{a+b+c}

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両辺に3をかけると、

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\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}

$$$$

したがって、不等式が証明された。

等号が成り立つのは、$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ のとき、すなわち、$a=b=c$のときである。

(春の数学問題演習 7.3 (1))

$3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$を証明する。

不等式の右辺を展開すると $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$となるので、

$$$$

3(a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)^2 = 3a^2+3b^2+3c^2 - (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) = 2a^2+2b^2+2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2

$$$$

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$ であるから、 $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$が成り立つ。

等号が成り立つのは、$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$ のとき、すなわち、$a-b=0$, $b-c=0$, $c-a=0$ のときである。したがって、$a=b=c$である。

(春の数学問題演習 7.3 (2))

$27(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^3$を証明する。

相加・相乗平均の関係より、

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\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \ge (a^2b^2c^2)^{1/3}

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a+b+c \ge 3 (abc)^{1/3}

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二乗平均・相加平均の関係より、

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\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{a+b+c}{3}

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この不等式を使うと、

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27(a^2+b^2+c^2) \ge 3(a+b+c)^2

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相加・相乗平均の関係を３変数に拡張すると、

$a^2+b^2+c^2 \geq 3(a^2b^2c^2)^{1/3}$なので、$27(a^2+b^2+c^2) \ge 81(a^2b^2c^2)^{1/3}$. 一方、 $(a+b+c)^3 \ge (3\sqrt[3]{abc})^3 = 27abc = 27 (a^3b^3c^3)^{1/3}$. したがって、この方針ではうまくいかない。

3. 最終的な答え

(春の数学問題演習 7.2)

不等式: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$

等号が成り立つ条件: $a=b=c$

(春の数学問題演習 7.3 (1))

不等式: $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$

等号が成り立つ条件: $a=b=c$

(春の数学問題演習 7.3 (2))

不等式: $27(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^3$

(証明は上記参照)

注：この不等式は$a,b,c$が全て正の数でないと成立しない。例えば、$a=1,b=1,c=-1$の時、左辺は81,右辺は1なので成り立たない。$a,b,c$は実数となっているので、上記の不等式は誤りである。

条件が$a,b,c>0$であれば、$27(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}} \ge (a+b+c)^3$が成立する。