与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} k(k^2 + 1)$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} k(k^2 + 1)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$\sum$の中の式を展開します。

$k(k^2 + 1) = k^3 + k$

次に、$\sum$の性質を利用して、それぞれの項に$\sum$を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^3$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

これらの公式を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k = (\frac{n(n+1)}{2})^2 + \frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $\frac{n(n+1)}{2}$ でくくります。

$(\frac{n(n+1)}{2})^2 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} (\frac{n(n+1)}{2} + 1)$

さらに整理します。

$\frac{n(n+1)}{2} (\frac{n(n+1)}{2} + 1) = \frac{n(n+1)}{2} (\frac{n(n+1) + 2}{2}) = \frac{n(n+1)(n^2 + n + 2)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$