2次不等式 $x^2 + 2mx + m + 2 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 2mx + m + 2 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次不等式の解がすべての実数であるためには、2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ の判別式 $D$ が $D < 0$ でなければならない。なぜなら、$x^2$ の係数は正なので、グラフは下に凸な放物線であり、常に正であるためには、$x$軸と交わらない、つまり実数解を持たない必要があるからである。

まず判別式 $D$ を計算する。

$D = (2m)^2 - 4(1)(m+2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2)$

$D < 0$ となる条件を求める。

$4(m^2 - m - 2) < 0$

$m^2 - m - 2 < 0$

$(m - 2)(m + 1) < 0$

この不等式を解くと、$m$ の範囲は $-1 < m < 2$ となる。

3. 最終的な答え

$-1 < m < 2$