2次不等式 $-x^2 + mx + m < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $-x^2 + mx + m < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $-x^2 + mx + m < 0$ の解がすべての実数であるための条件を考えます。

まず、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、

$x^2 - mx - m > 0$

とします。この不等式がすべての実数 $x$ に対して成り立つためには、2次関数 $y = x^2 - mx - m$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。つまり、$x^2 - mx - m = 0$ の判別式 $D$ が $D < 0$ でなければなりません。

判別式 $D$ は、

$D = (-m)^2 - 4(1)(-m) = m^2 + 4m$

となります。

したがって、$m^2 + 4m < 0$ でなければなりません。

これを解きます。

$m^2 + 4m = m(m + 4) < 0$

より、$m$ の範囲は $-4 < m < 0$ となります。

3. 最終的な答え

$-4 < m < 0$