ある食堂の定食は、3種類の主食から1品、5種類の副菜から3品、6種類の汁物・漬物から2品を選べる。 (1) 可能な組み合わせは何通りか？ (2) 3種類の主食のうち1種類は麺である。6種類の汁物・漬物のうち、2種類が汁物である。麺を選ぶ場合、汁物は選ばないとする。組み合わせは何通りか？

1. 問題の内容

ある食堂の定食は、3種類の主食から1品、5種類の副菜から3品、6種類の汁物・漬物から2品を選べる。

(1) 可能な組み合わせは何通りか？

(2) 3種類の主食のうち1種類は麺である。6種類の汁物・漬物のうち、2種類が汁物である。麺を選ぶ場合、汁物は選ばないとする。組み合わせは何通りか？

2. 解き方の手順

(1)

主食の選び方は $_3C_1$ 通り、副菜の選び方は $_5C_3$ 通り、汁物・漬物の選び方は $_6C_2$ 通りである。

したがって、可能な組み合わせは

$_3C_1 \times _5C_3 \times _6C_2 = 3 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 3 \times 10 \times 15 = 450$ 通り

(2)

主食が麺の場合と、麺でない場合に分けて考える。

(i) 主食が麺の場合

主食の選び方は1通り。汁物は選ばないので、漬物から2品を選ぶ。漬物は4種類なので、漬物の選び方は $_4C_2$ 通り。副菜の選び方は $_5C_3$ 通り。

したがって、組み合わせは $1 \times _4C_2 \times _5C_3 = 1 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 1 \times 6 \times 10 = 60$ 通り。

(ii) 主食が麺でない場合

主食の選び方は2通り。汁物・漬物の選び方は $_6C_2$ 通り。副菜の選び方は $_5C_3$ 通り。

したがって、組み合わせは $2 \times _6C_2 \times _5C_3 = 2 \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 2 \times 15 \times 10 = 300$ 通り。

(i)と(ii)を合わせて $60 + 300 = 360$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 450通り

(2) 360通り