問題は2つの式を計算することです。 (1) $(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)$ (2) $(a+b+c)^2-(a-b+c)^2+(a+b-c)^2-(a-b-c)^2$

1. 問題の内容

問題は2つの式を計算することです。

(1) $(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)$

(2) $(a+b+c)^2-(a-b+c)^2+(a+b-c)^2-(a-b-c)^2$

2. 解き方の手順

(1) の式を計算します。

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

という公式を参考にします。

$(a-b+c)(a^2+(-b)^2+c^2+a(-b)+(-b)c-ca)=(a+(-b)+c)(a^2+(-b)^2+c^2-a(-b)-(-b)c-ca)$

$=a^3+(-b)^3+c^3-3a(-b)c$

$=a^3-b^3+c^3+3abc$

(2)の式を計算します。

$A=a+c$, $B=b$とおくと、

$(A+B)^2-(A-B)^2 = A^2+2AB+B^2-(A^2-2AB+B^2)=4AB$

また、$C=a+b$, $D=c$とおくと、

$(C-D)^2-(a-(b+c))^2=(C+D)^2-(C-D)^2 = (C^2+2CD+D^2)-(C^2-2CD+D^2) = 4CD = 4(a+b)c$

$(a+b+c)^2-(a-b+c)^2+(a+b-c)^2-(a-b-c)^2$

$=((a+c)+b)^2-((a+c)-b)^2 + ((a+b)-c)^2-((a-b)-c)^2$

$=4(a+c)b + ((a+b)+(-c))^2 - ((a-b)+(-c))^2$

$=4(a+c)b + 4(a)(-c)$

$=4ab+4bc+4ac$

$=4ab+4bc+4ac$

3. 最終的な答え

(1) $a^3-b^3+c^3+3abc$

(2) $4ab+4bc = 4b(a+c)$

$(a+b+c)^2-(a-b+c)^2+(a+b-c)^2-(a-b-c)^2 = 4b(a+c) + 4ac = 4ab+4bc+4ac$.

最終的な答えは

(1) $a^3 - b^3 + c^3 + 3abc$

(2) $4ab+4bc$

No.2が間違っているため修正します。

(2) $(a+b+c)^2-(a-b+c)^2+(a+b-c)^2-(a-b-c)^2$

$((a+c)+b)^2-((a+c)-b)^2 = 4(a+c)b$

$((a+b)-c)^2-((a-b)-c)^2 = ((a-c)+b)^2-((a-c)-b)^2 = 4(a-c)b$

与式$=4(a+c)b + 4(a-c)b = 4ab + 4cb + 4ab - 4cb = 8ab$

最終的な答え

(1) $a^3 - b^3 + c^3 + 3abc$

(2) $8ab$