与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $a^2 + b^2 + 2ca + 2ab + 2bc$ (2) $x^4 + x^2 + 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $a^2 + b^2 + 2ca + 2ab + 2bc$

(2) $x^4 + x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 + b^2 + 2ca + 2ab + 2bc$ を因数分解する。

与えられた式を整理すると、

$a^2 + 2ab + b^2 + 2ca + 2bc = (a+b)^2 + 2c(a+b)$

共通因数 $(a+b)$ でくくると、

$(a+b)(a+b+2c) = (a+b)(a+b+2c)$

よって、 $(a+b+2c)$ が因数となるため、

$(a+b)(a+b+2c)$

しかし、$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ であるから、$c^2$が存在しない。

元の式をよく見ると、$a^2 + b^2 + 2ca + 2ab + 2bc$なので、$c^2$を加えると $(a+b+c)^2 - c^2 = (a+b+c)^2$ に近づくことを利用する。

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ca + 2ab + 2bc - c^2 = (a+b+c)^2 - c^2 = (a+b+c+c)(a+b+c-c) = (a+b+2c)(a+b)$

正しい解法は、与えられた式を $(a+b)^2$ を用いて整理するのではなく、$a$ について整理することです。

$a^2 + 2a(b+c) + b^2 + 2bc = a^2 + 2(b+c)a + b^2+2bc$

ここで、$b^2+2bc+c^2-c^2 = (b+c)^2 - c^2$

元の式に$c^2$を足して引くと

$a^2 + 2a(b+c) + (b+c)^2 - c^2 = (a+b+c)^2 - c^2 = (a+b+c+c)(a+b+c-c) = (a+b+2c)(a+b)$

正しい答えは$(a+b)(a+b+2c)$

(2) $x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する。

$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2$

これは $A^2 - B^2$ の形なので、 $(A+B)(A-B)$ と因数分解できる。

よって、$(x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(a+b+2c)$

(2) $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$