$x = \sqrt{5} - 2$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求める問題です。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} - 2$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求める問題です。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{5} - 2$ のとき、$\frac{1}{x}$ を計算します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$

$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

(1) $x + \frac{1}{x}$ の値を計算します。

$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を計算します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 20 - 2 = 18$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を計算します。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2\frac{1}{x} + 3x\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = (2\sqrt{5})^3 - 3(2\sqrt{5}) = 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 34\sqrt{5}$

(4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を計算します。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = (18)^2 - 2 = 324 - 2 = 322$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 18$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 34\sqrt{5}$

(4) $x^4 + \frac{1}{x^4} = 322$