袋の中に1から9までの数字が書かれた9枚のカードが入っている。この中から同時に3枚のカードを取り出す。 (1) 1, 2, 3のカードを取り出す確率を求める。 (2) 取り出した3枚のカードに1のカードが含まれる確率を求める。また、取り出した3枚のカードに1または2のカードが含まれる確率を求める。 (3) 取り出した3枚のカードに1または2のカードが含まれているとき、取り出した3枚のカードに書かれている数の和が奇数である条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に1から9までの数字が書かれた9枚のカードが入っている。この中から同時に3枚のカードを取り出す。

(1) 1, 2, 3のカードを取り出す確率を求める。

(2) 取り出した3枚のカードに1のカードが含まれる確率を求める。また、取り出した3枚のカードに1または2のカードが含まれる確率を求める。

(3) 取り出した3枚のカードに1または2のカードが含まれているとき、取り出した3枚のカードに書かれている数の和が奇数である条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全事象は9枚から3枚を選ぶ組み合わせなので、${}_9C_3$通り。

1, 2, 3の3枚のカードを取り出すのは1通りなので、求める確率は

$$\frac{1}{{}_9C_3} = \frac{1}{\frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{1}{84}$$

(2) 1のカードが含まれる確率を求める。

全事象は${}_9C_3 = 84$通り。

1のカードが含まれる組み合わせは、残りの8枚から2枚を選ぶので、${}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通り。

したがって、1のカードが含まれる確率は

$$\frac{{}_8C_2}{{}_9C_3} = \frac{28}{84} = \frac{1}{3}$$

次に、1または2のカードが含まれる確率を求める。

1が含まれる事象をA, 2が含まれる事象をBとする。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$P(A) = \frac{1}{3}$

$P(B) = \frac{1}{3}$

$P(A \cap B)$は1と2の両方が含まれる確率である。

1と2が含まれる組み合わせは、残りの7枚から1枚を選ぶので、${}_7C_1 = 7$通り。

$P(A \cap B) = \frac{{}_7C_1}{{}_9C_3} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12}$

したがって、

$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$

(3) 1または2が含まれているという条件の下で、取り出した3枚の和が奇数である確率を求める。

1または2が含まれる事象をC、和が奇数である事象をDとする。求めるものは$P(D|C) = \frac{P(C \cap D)}{P(C)}$である。

$P(C) = \frac{7}{12}$（(2)の結果）

$C \cap D$は、1または2が含まれ、かつ和が奇数となる事象である。

i) 1のみが含まれる場合：1と残りの2枚の和が偶数となる必要がある。つまり、残りの2枚は偶数2枚または奇数2枚の組み合わせである。

偶数は4, 6, 8の3枚。奇数は3, 5, 7, 9の4枚。

${}_3C_2 + {}_4C_2 = 3 + 6 = 9$通り

ii) 2のみが含まれる場合：2と残りの2枚の和が奇数となる必要がある。つまり、残りの2枚は偶数1枚と奇数1枚の組み合わせである。

${}_3C_1 \times {}_4C_1 = 3 \times 4 = 12$通り

iii) 1と2の両方が含まれる場合：1+2+残りの1枚が奇数となる必要があるので、残りの1枚は偶数。

残りの1枚は4, 6, 8の3通り。

$9+12+3 = 24$通り

したがって、$P(C \cap D) = \frac{24}{84} = \frac{2}{7}$

$P(D|C) = \frac{P(C \cap D)}{P(C)} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{7}{12}} = \frac{2}{7} \times \frac{12}{7} = \frac{24}{49}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{84}$

(2) $\frac{1}{3}$, $\frac{7}{12}$

(3) $\frac{24}{49}$