(1) 6人を2つの部屋A, Bに分けるとき、どの部屋も1人以上になる分け方は何通りあるか。 (2) 6人を3つの部屋A, B, Cに分けるとき、どの部屋も1人以上になる分け方は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 6人を2つの部屋A, Bに分けるとき、どの部屋も1人以上になる分け方は何通りあるか。

(2) 6人を3つの部屋A, B, Cに分けるとき、どの部屋も1人以上になる分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6人を部屋A, Bに分ける分け方は、各人が部屋Aか部屋Bのどちらかに入るので、$2^6 = 64$通りあります。しかし、この中には全員が部屋Aに入る場合と、全員が部屋Bに入る場合が含まれています。これらの場合はどの部屋も1人以上になるという条件を満たさないので、これらの2つの場合を除きます。

$64 - 2 = 62$

したがって、6人を2つの部屋A, Bに分けるとき、どの部屋も1人以上になる分け方は62通りです。

(2) 6人を3つの部屋A, B, Cに分けるとき、各部屋に少なくとも1人ずつ入るように分ける場合の数を考えます。

まず、各人が部屋A, B, Cのいずれかに入るので、$3^6 = 729$通りの分け方があります。

次に、この中から、少なくとも一つの部屋が空になる場合を除きます。

(i) 1つの部屋が空になる場合：

どの部屋が空になるかの選び方は3通り。空にならない部屋への分け方は2部屋に分けることになるので、$2^6$通り。ただし、どちらか一方の部屋に全員が入ってしまう場合を除外する必要があるので、$(2^6-2)$通り。したがって、$3 \times (2^6-2) = 3 \times (64-2) = 3 \times 62 = 186$通り。

(ii) 2つの部屋が空になる場合：

どの2つの部屋が空になるかの選び方は3通り。残りの1つの部屋に全員が入る場合なので、3通り。

これらの結果を使って、包除原理により、少なくとも一つの部屋が空になる場合の数を求めます。

$3^6 - \{3(2^6) - 3(1^6)\} = 729 - \{3(64)-3\} = 729 - \{192 - 3\} = 729 - 189 = 540$

しかし、これは正しくありません。

正しい解き方：

6人を3つの部屋に分けるとき、それぞれの部屋に少なくとも1人は入るようにします。

部屋に入る人数の組み合わせは、(1, 1, 4), (1, 2, 3), (2, 2, 2) のいずれかです。

(i) (1, 1, 4) のとき

6人から4人を選び、その4人を1つの部屋に入れる。残りの2人から1人ずつ選んで残りの2つの部屋に入れる。部屋の選び方は3! / 2! = 3通り。

${}_6 C_4 \times {}_2 C_1 \times {}_1 C_1 \times 3 = 15 \times 2 \times 1 \times 3 = 90$通り。

(ii) (1, 2, 3) のとき

6人から3人を選び、その3人を1つの部屋に入れる。残りの3人から2人を選び、その2人を別の部屋に入れる。残りの1人を最後の部屋に入れる。部屋の選び方は3! = 6通り。

${}_6 C_3 \times {}_3 C_2 \times {}_1 C_1 \times 6 = 20 \times 3 \times 1 \times 6 = 360$通り。

(iii) (2, 2, 2) のとき

6人から2人を選び、その2人を1つの部屋に入れる。残りの4人から2人を選び、その2人を別の部屋に入れる。残りの2人を最後の部屋に入れる。部屋の並び順は関係ないので、3! = 6で割る。

${}_6 C_2 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 / 3! = 15 \times 6 \times 1 / 6 = 15$通り。部屋の選び方は1通り。${}_6 C_2 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 / 3! = (15 \times 6 \times 1)/6 = 15$

したがって、(iii)のパターンは、$15 \times \frac{3!}{3!} = 15 \times 1 =15$通り

よって、合計は $90+360+15 = 540+15 = 465+15 = 480+90-15 = 450+15 = 90 + 360 + 15 = 465$通り。

3. 最終的な答え

(1) 62通り

(2) 90+360+15 = 465通り