与えられた式 $x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + 2xyz$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + 2xyz$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理してから因数分解します。

ステップ1: 式を展開する。

$x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + 2xyz = x^2y + x^2z + y^2z + y^2x + z^2x + z^2y + 2xyz$

ステップ2: 式を整理する。

$x^2y + x^2z + y^2z + y^2x + z^2x + z^2y + 2xyz = x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 2xyz$

ステップ3: 因数分解する。

この式は、$(x+y)(y+z)(z+x)$ に因数分解できます。

これを確かめるために展開してみます。

$(x+y)(y+z)(z+x) = (xy + xz + y^2 + yz)(z+x)$

$= xyz + x^2y + xz^2 + x^2z + y^2z + xy^2 + yz^2 + xyz$

$= x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 2xyz$

これは、ステップ2で得られた式と同じです。

3. 最終的な答え

$(x+y)(y+z)(z+x)$