1. 問題の内容
与えられた行列を簡約化し、その階数を求める問題です。行列は2つ与えられています。
2. 解き方の手順
(1)
与えられた行列は
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 3
\end{bmatrix}
1行目と3行目を入れ替えます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1
\end{bmatrix}
2行目と3行目を入れ替えます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 0
\end{bmatrix}
3行目を1/2倍します。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
2行目から3行目の2倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
よって、簡約化された行列は
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
となり、階数は3です。
(2)
与えられた行列は
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 4 & 6 & 9 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{bmatrix}
3行目から1行目を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
2 & 2 & 4 & 6 & 9 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{bmatrix}
4行目から1行目の2倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{bmatrix}
4行目を-1倍します。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{bmatrix}
3行目を-1倍します。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{bmatrix}
4行目から3行目を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{bmatrix}
5行目から3行目を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
5行目から2行目を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
1行目から3行目の5倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
1行目から2行目の3倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
2行目から3行目の2倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
1行目から3行目の-6倍を引きます。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
よって、簡約化された行列は
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
となり、階数は3です。
3. 最終的な答え
(1) 簡約化された行列:
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$
階数: 3
(2) 簡約化された行列:
$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$
階数: 3