$\sum_{k=1}^{n-1} 5^k$ を計算します。これは、初項が $5^1 = 5$ 、公比が $5$ 、項数が $n-1$ の等比数列の和です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} 5^k$ を計算します。これは、初項が $5^1 = 5$ 、公比が $5$ 、項数が $n-1$ の等比数列の和です。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使います。初項を $a$、公比を $r$、項数を $m$ とすると、等比数列の和 $S_m$ は次の式で表されます。

$S_m = \frac{a(r^m - 1)}{r - 1}$

この問題では、$a = 5$、$r = 5$、$m = n-1$ です。したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} 5^k = \frac{5(5^{n-1} - 1)}{5 - 1}$

$= \frac{5(5^{n-1} - 1)}{4}$

$= \frac{5 \cdot 5^{n-1} - 5}{4}$

$= \frac{5^n - 5}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 5}{4}$