分母が $\sqrt{5} + 1$ である分数 $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

分母が $\sqrt{5} + 1$ である分数 $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母に無理数が含まれている場合に、分母と分子に適切な数を掛けて分母を整数にすることを指します。

この問題では、分母が $\sqrt{5} + 1$ なので、分母と分子に $\sqrt{5} - 1$ を掛けます。これは、$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用するためです。

$\frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{1}{\sqrt{5} + 1} \times \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1}$

$= \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}$

$= \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$

$= \frac{\sqrt{5} - 1}{5 - 1}$

$= \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$