## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

問題3は、与えられた数列の和を、シグマ記号を使わずに書き出す問題、またはシグマ記号を使って表現する問題です。

問題4は、与えられた和を計算する問題です。

具体的には、以下の問題を解きます。

* 3(1): $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i+1}$ をシグマ記号を使わずに書き出す。

* 3(2): $\sum_{i=3}^{n+1} \frac{1}{i}$ をシグマ記号を使わずに書き出す。

* 3(3): $9 + 27 + 81 + 243$ をシグマ記号を使って表す。

* 4(1): $\sum_{k=1}^{20} k$ を計算する。

* 4(2): $\sum_{k=1}^{15} k^2$ を計算する。

* 4(3): $\sum_{k=1}^{12} k^3$ を計算する。

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2. 解き方の手順

**3(1)**

シグマ記号 $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i+1}$ は、$i$ を1から$n$まで変化させて、$\frac{1}{2i+1}$ の和を計算することを意味します。したがって、各項を書き出すと、

$\frac{1}{2(1)+1} + \frac{1}{2(2)+1} + \frac{1}{2(3)+1} + \cdots + \frac{1}{2n+1}$

$= \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{2n+1}$

**3(2)**

シグマ記号 $\sum_{i=3}^{n+1} \frac{1}{i}$ は、$i$ を3から$n+1$まで変化させて、$\frac{1}{i}$ の和を計算することを意味します。したがって、各項を書き出すと、

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{n+1}$

**3(3)**

与えられた数列 $9 + 27 + 81 + 243$ は、初項が9、公比が3の等比数列であると分かります。

$9 = 9 \times 3^0 = 3^2$

$27 = 9 \times 3^1 = 3^3$

$81 = 9 \times 3^2 = 3^4$

$243 = 9 \times 3^3 = 3^5$

数列は、$3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$と書き換えられます。

したがって、シグマ記号を用いて表すと、

$\sum_{k=2}^{5} 3^k$ もしくは $\sum_{k=0}^{3} 9 \times 3^k$

**4(1)**

$\sum_{k=1}^{20} k$ は、1から20までの自然数の和です。等差数列の和の公式を用いると、

$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 10 \times 21 = 210$

**4(2)**

$\sum_{k=1}^{15} k^2$ は、1から15までの自然数の2乗の和です。2乗の和の公式を用いると、

$\sum_{k=1}^{15} k^2 = \frac{15(15+1)(2 \times 15 + 1)}{6} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 5 \times 8 \times 31 = 40 \times 31 = 1240$

**4(3)**

$\sum_{k=1}^{12} k^3$ は、1から12までの自然数の3乗の和です。3乗の和の公式を用いると、

$\sum_{k=1}^{12} k^3 = \left( \frac{12(12+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{12 \times 13}{2} \right)^2 = (6 \times 13)^2 = 78^2 = 6084$

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3. 最終的な答え

* 3(1): $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{2n+1}$

* 3(2): $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{n+1}$

* 3(3): $\sum_{k=2}^{5} 3^k$ (もしくは $\sum_{k=0}^{3} 9 \times 3^k$)

* 4(1): $210$

* 4(2): $1240$

* 4(3): $6084$