2次方程式 $x^2 - 3x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、2数 $\alpha + 2$、$\beta + 2$ を解とする2次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、2数 $\alpha + 2$、$\beta + 2$ を解とする2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立つ。

与えられた2次方程式 $x^2 - 3x + 3 = 0$ の解 $\alpha$、$\beta$ について、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = 3$

$\alpha + 2$ と $\beta + 2$ を解とする2次方程式は、

$(x - (\alpha + 2))(x - (\beta + 2)) = 0$

と表される。

展開すると、

$x^2 - (\alpha + 2 + \beta + 2)x + (\alpha + 2)(\beta + 2) = 0$

$x^2 - (\alpha + \beta + 4)x + (\alpha \beta + 2\alpha + 2\beta + 4) = 0$

$x^2 - (\alpha + \beta + 4)x + (\alpha \beta + 2(\alpha + \beta) + 4) = 0$

$\alpha + \beta = 3$、$\alpha \beta = 3$ を代入すると、

$x^2 - (3 + 4)x + (3 + 2(3) + 4) = 0$

$x^2 - 7x + (3 + 6 + 4) = 0$

$x^2 - 7x + 13 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 7x + 13 = 0$