問題は、与えられた数の分母を有理化することです。今回は(1)の問題、$ \frac{1}{\sqrt{5}+1} $ と(4)の問題、$ \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} $を解きます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数の分母を有理化することです。今回は(1)の問題、$\frac{1}{\sqrt{5}+1}$ と(4)の問題、$\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2}$を解きます。

2. 解き方の手順

(1)

分母を有理化するためには、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。分母が$\sqrt{5}+1$なので、共役な複素数は$\sqrt{5}-1$です。

$\frac{1}{\sqrt{5}+1} = \frac{1}{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}$

$= \frac{\sqrt{5}-1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{5}-1}{5-1}$

$= \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(4)

分母を有理化するためには、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。分母が$\sqrt{7}-2$なので、共役な複素数は$\sqrt{7}+2$です。

$\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} = \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} \cdot \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2}$

$= \frac{3\sqrt{7}(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{3(7+2\sqrt{7})}{7-4}$

$= \frac{3(7+2\sqrt{7})}{3} = 7+2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) の答え: $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(4) の答え: $7+2\sqrt{7}$