2つの関数 $f(x) = x^2 + 4x + 4$ と $g(x) = -2x^2 + 4x + k$ がある。 (1) すべての $x$ について $f(x) > g(x)$ となる実数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) すべての $x_1$ と $x_2$ の組について $f(x_1) > g(x_2)$ となる $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = x^2 + 4x + 4$ と $g(x) = -2x^2 + 4x + k$ がある。

(1) すべての $x$ について $f(x) > g(x)$ となる実数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) すべての $x_1$ と $x_2$ の組について $f(x_1) > g(x_2)$ となる $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) > g(x)$ がすべての $x$ について成り立つ条件を求める。

$f(x) - g(x) > 0$

$x^2 + 4x + 4 - (-2x^2 + 4x + k) > 0$

$3x^2 + 4 - k > 0$

この不等式がすべての $x$ について成り立つためには、$3x^2 + 4 - k$ の最小値が正である必要がある。$3x^2 + 4 - k$ は下に凸の放物線なので、頂点で最小値をとる。頂点は $x=0$ のときで、最小値は $4-k$ である。

したがって、$4 - k > 0$ より $k < 4$。

(2) すべての $x_1$ と $x_2$ について $f(x_1) > g(x_2)$ が成り立つ条件を求める。

$f(x_1)$ の最小値が $g(x_2)$ の最大値より大きければよい。

$f(x) = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ より、$f(x)$ の最小値は $f(-2) = 0$。

$g(x) = -2x^2 + 4x + k = -2(x^2 - 2x) + k = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + k = -2(x-1)^2 + 2 + k$ より、$g(x)$ の最大値は $g(1) = 2 + k$。

したがって、$0 > 2 + k$ より $k < -2$。

3. 最終的な答え

(1) $k < 4$

(2) $k < -2$