3次式 $x^3 + 2x^2 - x - 2$ を因数分解します。

##

4. (1) の問題

1. 問題の内容

3次式 $x^3 + 2x^2 - x - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

因数定理を使って因数を見つけます。

$x=1$ を代入すると、$1^3 + 2(1)^2 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$ となり、0になります。

したがって、$x-1$ は因数です。

次に、与式を $x-1$ で割ります。筆算または組み立て除法を用いると、以下のようになります。

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x-1)(x^2 + 3x + 2)$

さらに、$x^2 + 3x + 2$ を因数分解します。

$(x+1)(x+2)$ と因数分解できます。

したがって、$x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x-1)(x+1)(x+2)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x+1)(x+2)$

##

4. (2) の問題

1. 問題の内容

3次式 $x^3 + 4x^2 + x - 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

因数定理を使って因数を見つけます。

$x=1$ を代入すると、$1^3 + 4(1)^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$ となり、0になります。

したがって、$x-1$ は因数です。

次に、与式を $x-1$ で割ります。筆算または組み立て除法を用いると、以下のようになります。

$x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x-1)(x^2 + 5x + 6)$

さらに、$x^2 + 5x + 6$ を因数分解します。

$(x+2)(x+3)$ と因数分解できます。

したがって、$x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x-1)(x+2)(x+3)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x+2)(x+3)$

##

4. (3) の問題

1. 問題の内容

3次式 $x^3 - x^2 - 17x - 15$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

因数定理を使って因数を見つけます。

$x=-1$ を代入すると、$(-1)^3 - (-1)^2 - 17(-1) - 15 = -1 - 1 + 17 - 15 = 0$ となり、0になります。

したがって、$x+1$ は因数です。

次に、与式を $x+1$ で割ります。筆算または組み立て除法を用いると、以下のようになります。

$x^3 - x^2 - 17x - 15 = (x+1)(x^2 - 2x - 15)$

さらに、$x^2 - 2x - 15$ を因数分解します。

$(x-5)(x+3)$ と因数分解できます。

したがって、$x^3 - x^2 - 17x - 15 = (x+1)(x-5)(x+3)$

3. 最終的な答え

$(x+1)(x-5)(x+3)$

##

4. (4) の問題

1. 問題の内容

3次式 $x^3 - 4x^2 - 11x + 30$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

因数定理を使って因数を見つけます。

$x=2$ を代入すると、$2^3 - 4(2)^2 - 11(2) + 30 = 8 - 16 - 22 + 30 = 0$ となり、0になります。

したがって、$x-2$ は因数です。

次に、与式を $x-2$ で割ります。筆算または組み立て除法を用いると、以下のようになります。

$x^3 - 4x^2 - 11x + 30 = (x-2)(x^2 - 2x - 15)$

さらに、$x^2 - 2x - 15$ を因数分解します。

$(x-5)(x+3)$ と因数分解できます。

したがって、$x^3 - 4x^2 - 11x + 30 = (x-2)(x-5)(x+3)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x-5)(x+3)$

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5. (1) の問題

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

$x$ でくくりだします。

$x(x^2 - 5x + 6) = 0$

$x^2 - 5x + 6$ を因数分解します。

$(x-2)(x-3)$ と因数分解できます。

したがって、$x(x-2)(x-3) = 0$

よって、 $x = 0, 2, 3$

3. 最終的な答え

$x = 0, 2, 3$

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5. (2) の問題

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 2x^2 - 2x = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

$x$ でくくりだします。

$x(x^2 - 2x - 2) = 0$

$x^2 - 2x - 2 = 0$ を解きます。解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x = 0, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x = 0, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

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5. (3) の問題

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

$x^2 = y$ とおくと、$y^2 + 3y - 4 = 0$ となります。

これを因数分解すると、$(y+4)(y-1)=0$

よって、$y=-4, 1$

$x^2 = -4$ より $x = \pm 2i$

$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$

3. 最終的な答え

$x = 1, -1, 2i, -2i$

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5. (4) の問題

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

因数定理を使って因数を見つけます。

$x=1$ を代入すると、$1^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0$ となり、0になります。

したがって、$x-1$ は因数です。

次に、与式を $x-1$ で割ります。筆算または組み立て除法を用いると、以下のようになります。

$x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = (x-1)(x^2 - 3x - 10)$

さらに、$x^2 - 3x - 10 = 0$ を解きます。

$(x-5)(x+2)$ と因数分解できます。

したがって、$(x-1)(x-5)(x+2) = 0$

よって、 $x = 1, 5, -2$

3. 最終的な答え

$x = 1, 5, -2$