ベクトル $\vec{a} = (3, -4)$, $\vec{b} = (-3, 9)$, $\vec{c} = (5, 12)$ であるとき、以下のベクトルの成分と大きさを求める問題です。 (1) $-5\vec{a}$ (2) $\vec{a} + \vec{b}$ (3) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ (4) $\frac{\vec{c}}{2}$ (5) $\frac{3\vec{a} - 2\vec{b} - 3\vec{c}}{11}$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, -4)$, $\vec{b} = (-3, 9)$, $\vec{c} = (5, 12)$ であるとき、以下のベクトルの成分と大きさを求める問題です。

(1) $-5\vec{a}$

(2) $\vec{a} + \vec{b}$

(3) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

(4) $\frac{\vec{c}}{2}$

(5) $\frac{3\vec{a} - 2\vec{b} - 3\vec{c}}{11}$

2. 解き方の手順

(1) $-5\vec{a} = -5(3, -4) = (-15, 20)$

大きさは $\sqrt{(-15)^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$

(2) $\vec{a} + \vec{b} = (3, -4) + (-3, 9) = (3-3, -4+9) = (0, 5)$

大きさは $\sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5$

(3) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = (3, -4) - (-3, 9) + (5, 12) = (3+3+5, -4-9+12) = (11, -1)$

大きさは $\sqrt{11^2 + (-1)^2} = \sqrt{121 + 1} = \sqrt{122}$

(4) $\frac{\vec{c}}{2} = \frac{(5, 12)}{2} = (\frac{5}{2}, 6)$

大きさは $\sqrt{(\frac{5}{2})^2 + 6^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + 36} = \sqrt{\frac{25+144}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$

(5) $3\vec{a} - 2\vec{b} - 3\vec{c} = 3(3, -4) - 2(-3, 9) - 3(5, 12) = (9, -12) - (-6, 18) - (15, 36) = (9+6-15, -12-18-36) = (0, -66)$

$\frac{3\vec{a} - 2\vec{b} - 3\vec{c}}{11} = \frac{(0, -66)}{11} = (0, -6)$

大きさは $\sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$

3. 最終的な答え

(1) 成分: $(-15, 20)$, 大きさ: $25$

(2) 成分: $(0, 5)$, 大きさ: $5$

(3) 成分: $(11, -1)$, 大きさ: $\sqrt{122}$

(4) 成分: $(\frac{5}{2}, 6)$, 大きさ: $\frac{13}{2}$

(5) 成分: $(0, -6)$, 大きさ: $6$