与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に対して、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。 具体的には、以下の3つの場合について計算します。 (1) $\vec{a} = (-1, 2)$, $\vec{b} = (1, 3)$ (2) $\vec{a} = (4, -1)$, $\vec{b} = (3, 12)$ (3) $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$, $\vec{b} = (2, 2\sqrt{3})$

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に対して、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

具体的には、以下の3つの場合について計算します。

(1) $\vec{a} = (-1, 2)$, $\vec{b} = (1, 3)$

(2) $\vec{a} = (4, -1)$, $\vec{b} = (3, 12)$

(3) $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$, $\vec{b} = (2, 2\sqrt{3})$

2. 解き方の手順

ベクトルの内積は、$\vec{a} = (a_1, a_2)$、$\vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

で計算できます。

また、ベクトルのなす角 $\theta$ は、内積とベクトルの大きさ $||\vec{a}||$、 $||\vec{b}||$ を用いて、

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}$

から求めることができます。ここで、ベクトルの大きさは、$\vec{a} = (a_1, a_2)$ のとき、

$||\vec{a}|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

で計算できます。

各場合について、以下の手順で計算します。

(i) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。

(ii) ベクトルの大きさ $||\vec{a}||$、 $||\vec{b}||$ を計算する。

(iii) $\cos \theta$ を計算する。

(iv) $\theta$ を求める。

(1)

(i) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5$

(ii) $||\vec{a}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$||\vec{b}|| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

(iii) $\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(iv) $\theta = \frac{\pi}{4}$ (または45度)

(2)

(i) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-1) \cdot 12 = 12 - 12 = 0$

(ii) $||\vec{a}|| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$||\vec{b}|| = \sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$

(iii) $\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{17} \cdot 3\sqrt{17}} = 0$

(iv) $\theta = \frac{\pi}{2}$ (または90度)

(3)

(i) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} \cdot 2 + 1 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

(ii) $||\vec{a}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$||\vec{b}|| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

(iii) $\cos \theta = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot 4} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(iv) $\theta = \frac{\pi}{6}$ (または30度)

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$, $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\theta = \frac{\pi}{2}$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4\sqrt{3}$, $\theta = \frac{\pi}{6}$