(1) 等差数列 $\{a_n\}$ が $a_{10} = 29$, $a_2 + a_4 + a_6 = 33$ を満たすとき、初項 $a_1$, 公差 $d$, $a_n = 62$ となる $n$, および初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題。 (2) 公比が整数である等比数列 $\{a_n\}$ が $a_2 + a_4 = -30$, $a_3 = -12$ を満たしているとき、初項 $a_1$, 公比 $r$, および初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ が $a_{10} = 29$, $a_2 + a_4 + a_6 = 33$ を満たすとき、初項 $a_1$, 公差 $d$, $a_n = 62$ となる $n$, および初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題。

(2) 公比が整数である等比数列 $\{a_n\}$ が $a_2 + a_4 = -30$, $a_3 = -12$ を満たしているとき、初項 $a_1$, 公比 $r$, および初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で与えられる。

$a_{10} = a_1 + 9d = 29$ … (1)

$a_2 + a_4 + a_6 = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 3a_1 + 9d = 33$

よって $a_1 + 3d = 11$ … (2)

(1) - (2) より $6d = 18$ なので $d = 3$

(2) に代入して $a_1 + 3(3) = 11$ なので $a_1 = 11 - 9 = 2$

$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 3n - 1 = 62$

$3n = 63$ なので $n = 21$

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2 + 3n - 1) = \frac{n(3n+1)}{2}$

(2)

等比数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で与えられる。

$a_2 + a_4 = a_1 r + a_1 r^3 = a_1 r (1 + r^2) = -30$ … (3)

$a_3 = a_1 r^2 = -12$ なので $a_1 = -\frac{12}{r^2}$ … (4)

(4) を (3) に代入して $-\frac{12}{r^2} r (1 + r^2) = -30$

$-12(1 + r^2) = -30r$

$12 + 12r^2 = 30r$

$12r^2 - 30r + 12 = 0$

$2r^2 - 5r + 2 = 0$

$(2r - 1)(r - 2) = 0$

$r = \frac{1}{2}, 2$

$r$ は整数なので $r = 2$

$a_1 = -\frac{12}{r^2} = -\frac{12}{4} = -3$

$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{-3(1 - 2^n)}{1 - 2} = \frac{-3(1 - 2^n)}{-1} = 3(1 - 2^n)$

3. 最終的な答え

(1)

ア: 2

イ: 3

ウエ: 21

オ: 3

カ: 2

キ: 3

ク: 1

(2)

ケコ: -3

サ: 2

シ: 3

ス: 2