質量 $m$ [kg] の人が体重計に乗って体重を測る。重力加速度は $g$ [m/s²] とする。 (1) 体重計にかかる力は何か。 (2) 体重計と人がエレベータに乗っており、エレベータが垂直上向きに加速度 $\alpha$ で動き始めたとき、体重計にかかる力は何か。 (3) (2)のとき、体重計が示す質量は何 kg か。 (4) エレベータをつっているケーブルが切れたとき、エレベータの加速度を求めよ。 (5) (4)のとき、体重計が示す体重は何 kg か。

1. 問題の内容

質量 $m$ [kg] の人が体重計に乗って体重を測る。重力加速度は $g$ [m/s²] とする。

(1) 体重計にかかる力は何か。

(2) 体重計と人がエレベータに乗っており、エレベータが垂直上向きに加速度 $\alpha$ で動き始めたとき、体重計にかかる力は何か。

(3) (2)のとき、体重計が示す質量は何 kg か。

(4) エレベータをつっているケーブルが切れたとき、エレベータの加速度を求めよ。

(5) (4)のとき、体重計が示す体重は何 kg か。

2. 解き方の手順

(1) 体重計にかかる力は、人が体重計を押す力であり、これは人の重力と等しく、作用反作用の法則より体重計が人を押し返す力と等しい。したがって、体重計にかかる力 $N_1$ は、

$N_1 = mg$

(2) エレベータが上向きに加速度 $\alpha$ で動いているとき、体重計にかかる力 $N_2$ は、人が体重計を押す力であり、これは見かけの重力と等しく、作用反作用の法則より体重計が人を押し返す力と等しい。

エレベータ内の人から見ると、上向きの力 $N_2$ と下向きの力 $mg$ と慣性力 $m\alpha$ が釣り合っている。

$N_2 - mg - m\alpha = 0$

したがって、

$N_2 = mg + m\alpha = m(g + \alpha)$

(3) 体重計が示す質量 $m'$ は、体重計にかかる力 $N_2$ を重力加速度 $g$ で割ったものである。

$m' = \frac{N_2}{g} = \frac{m(g+\alpha)}{g} = m(1 + \frac{\alpha}{g})$

(4) エレベータをつっているケーブルが切れたとき、エレベータは重力のみを受けて自由落下する。したがって、エレベータの加速度 $a$ は、下向きに $g$ である。

$a = -g$ (下向きを負とする)

または、

$a = g$ (下向き)

(5) エレベータが自由落下しているとき、体重計にかかる力 $N_3$ は、人が体重計を押す力であり、これは見かけの重力と等しく、作用反作用の法則より体重計が人を押し返す力と等しい。

エレベータ内の人から見ると、上向きの力 $N_3$ と下向きの力 $mg$ と慣性力 $-mg$ (加速度が $-g$ なので慣性力は $m(-a) = m(-(-g)) = mg$ ) が釣り合っている。

$N_3 - mg + mg = 0$

$N_3 = 0$

したがって、体重計が示す質量 $m''$ は、

$m'' = \frac{N_3}{g} = \frac{0}{g} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $mg$ N

(2) $m(g+\alpha)$ N

(3) $m(1+\frac{\alpha}{g})$ kg

(4) $g$ (下向き) m/s²

(5) $0$ kg