海上に浮かぶ船の鉛直方向の座標 $z$ が時間 $t$ の関数として $z = z_0 \cos(\omega t)$ で与えられている。ここで $z_0$ と $\omega$ は定数である。以下の問いに答えよ。 (1) 船の鉛直上向き方向の速度を求めよ。 (2) 船の鉛直上向き方向の加速度を求めよ。 (3) 船の中で体重 $m$ の人が体重計で体重を測っている。体重計が示す体重の値を時間とともに変化する関数として求めよ。 (4) $t=0$ のとき、体重計は0を示した。このとき $\omega$ を求めよ。

1. 問題の内容

海上に浮かぶ船の鉛直方向の座標 $z$ が時間 $t$ の関数として $z = z_0 \cos(\omega t)$ で与えられている。ここで $z_0$ と $\omega$ は定数である。以下の問いに答えよ。

(1) 船の鉛直上向き方向の速度を求めよ。

(2) 船の鉛直上向き方向の加速度を求めよ。

(3) 船の中で体重 $m$ の人が体重計で体重を測っている。体重計が示す体重の値を時間とともに変化する関数として求めよ。

(4) $t=0$ のとき、体重計は0を示した。このとき $\omega$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 速度は位置の時間微分で求められる。

$v = \frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt} (z_0 \cos(\omega t))$

$v = -z_0 \omega \sin(\omega t)$

(2) 加速度は速度の時間微分で求められる。

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (-z_0 \omega \sin(\omega t))$

$a = -z_0 \omega^2 \cos(\omega t)$

(3) 体重計が示す体重は、人が感じる見かけの重力に比例する。見かけの重力は、実際の重力から加速度による慣性力を引いたものに相当する。加速度が上向きに正なので、下向きに $mg$ 、上向きに $ma$ の力が働くことになる。体重計が示す力 $F$ は、

$F = m(g+a) = m(g - z_0 \omega^2 \cos(\omega t))$

(4) $t=0$ のとき体重計が0を示すということは、$F(0) = 0$ である。

$F(0) = m(g - z_0 \omega^2 \cos(0)) = m(g - z_0 \omega^2) = 0$

したがって、$g - z_0 \omega^2 = 0$ なので、

$\omega^2 = \frac{g}{z_0}$

$\omega = \sqrt{\frac{g}{z_0}}$

3. 最終的な答え

(1) 船の鉛直上向き方向の速度: $v = -z_0 \omega \sin(\omega t)$

(2) 船の鉛直上向き方向の加速度: $a = -z_0 \omega^2 \cos(\omega t)$

(3) 体重計が示す体重の値: $m(g - z_0 \omega^2 \cos(\omega t))$

(4) $\omega = \sqrt{\frac{g}{z_0}}$