与えられた関数に対して、その導関数 $f'(x)$ が0となる $x$ が指定された範囲に存在するかどうかを調べる問題です。具体的には、以下の2つの関数について考えます。 (1) $f(x) = x\cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) (2) $f(x) = 1 - |x-2|$ ($1 \le x \le 3$)

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、その導関数 $f'(x)$ が0となる $x$ が指定された範囲に存在するかどうかを調べる問題です。具体的には、以下の2つの関数について考えます。

(1) $f(x) = x\cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$)

(2) $f(x) = 1 - |x-2|$ ($1 \le x \le 3$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x\cos x$ の場合：

まず、$f(x)$ を微分して$f'(x)$を求めます。積の微分公式を用いると、

$f'(x) = (x)' \cos x + x (\cos x)' = \cos x - x\sin x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。つまり、$\cos x - x\sin x = 0$ を解きます。これは $\cos x = x\sin x$ と同値であり、$\tan x = \frac{1}{x}$ となります。

$g(x) = \tan x$ と $h(x) = \frac{1}{x}$ のグラフを描くと、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で交点を持つことが分かります。

$x=0$のとき、$f'(0)=1$であり、$x=\pi/2$のとき、$f'(\pi/2) = 0 - \frac{\pi}{2}*1 = -\frac{\pi}{2}$となり、$f'(0) > 0$かつ$f'(\pi/2) < 0$なので、中間値の定理から、$f'(x)=0$となる$x$が、$0 < x < \frac{\pi}{2}$の範囲に存在します。

(2) $f(x) = 1 - |x-2|$ の場合：

絶対値記号があるので、場合分けを行います。

- $1 \le x \le 2$ のとき：$f(x) = 1 - (2-x) = x-1$。このとき、$f'(x) = 1$ となり、$f'(x) = 0$ となる $x$ は存在しません。

- $2 < x \le 3$ のとき：$f(x) = 1 - (x-2) = 3-x$。このとき、$f'(x) = -1$ となり、$f'(x) = 0$ となる $x$ は存在しません。

また、$x=2$において微分不可能であるため、$f'(2)$は存在しません。

しかし、$x=2$を含むいかなる区間においても、f'(x) = 0 となることはありません。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x\cos x$ の場合：$f'(x) = 0$ を満たす $x$ は存在する。

(2) $f(x) = 1 - |x-2|$ の場合：$f'(x) = 0$ を満たす $x$ は存在しない。