$x = \frac{1}{2}(t - \frac{1}{t})$ ($t > 0$) と置換することにより、不定積分 $\int \sqrt{x^2 + 1} \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{2}(t - \frac{1}{t})$ ($t > 0$) と置換することにより、不定積分 $\int \sqrt{x^2 + 1} \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t^2})$

$dx = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t^2}) dt$

次に、$x^2 + 1$ を計算します。

$x^2 = (\frac{1}{2}(t - \frac{1}{t}))^2 = \frac{1}{4}(t^2 - 2 + \frac{1}{t^2})$

$x^2 + 1 = \frac{1}{4}(t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}) + 1 = \frac{1}{4}(t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}) = \frac{1}{4}(t + \frac{1}{t})^2$

$\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{\frac{1}{4}(t + \frac{1}{t})^2} = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$ (since $t>0$)

したがって、

$\int \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t^2}) \, dt$

$= \frac{1}{4} \int (t + \frac{1}{t})(1 + \frac{1}{t^2}) \, dt$

$= \frac{1}{4} \int (t + \frac{1}{t} + \frac{1}{t} + \frac{1}{t^3}) \, dt$

$= \frac{1}{4} \int (t + 2\frac{1}{t} + \frac{1}{t^3}) \, dt$

$= \frac{1}{4} (\frac{1}{2}t^2 + 2\ln|t| - \frac{1}{2t^2}) + C$

$= \frac{1}{8}t^2 + \frac{1}{2}\ln|t| - \frac{1}{8t^2} + C$

$= \frac{1}{8}(t^2 - \frac{1}{t^2}) + \frac{1}{2}\ln|t| + C$

$x = \frac{1}{2}(t - \frac{1}{t})$ より、$2x = t - \frac{1}{t}$.

$t^2 - 2xt - 1 = 0$ なので、$t = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 + 1}$

$t > 0$ なので、$t = x + \sqrt{x^2 + 1}$.

$\frac{1}{8}(t^2 - \frac{1}{t^2}) = \frac{1}{4}x$ なので、

$\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}x \sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C$.

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C$