実数 $a, b$ が実数全体を動くとき、定積分 $\int_{0}^{\pi}(x-a-b\cos x)^2 dx$ の最小値を求め、そのときの $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ が実数全体を動くとき、定積分 $\int_{0}^{\pi}(x-a-b\cos x)^2 dx$ の最小値を求め、そのときの $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算する。

$I = \int_{0}^{\pi}(x-a-b\cos x)^2 dx = \int_{0}^{\pi} (x^2 + a^2 + b^2\cos^2 x - 2ax - 2bx\cos x + 2ab\cos x) dx$

$= \int_{0}^{\pi} x^2 dx + a^2 \int_{0}^{\pi} dx + b^2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx - 2a \int_{0}^{\pi} x dx - 2b \int_{0}^{\pi} x\cos x dx + 2ab \int_{0}^{\pi} \cos x dx$

各積分を計算する。

$\int_{0}^{\pi} x^2 dx = \frac{\pi^3}{3}$

$\int_{0}^{\pi} dx = \pi$

$\int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2}$

$\int_{0}^{\pi} x dx = \frac{\pi^2}{2}$

$\int_{0}^{\pi} x\cos x dx = [x\sin x]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin x dx = 0 - [-\cos x]_{0}^{\pi} = \cos\pi - \cos 0 = -1 - 1 = -2$

$\int_{0}^{\pi} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0$

これらを代入すると、

$I = \frac{\pi^3}{3} + a^2\pi + b^2 \frac{\pi}{2} - 2a \frac{\pi^2}{2} - 2b(-2) + 2ab(0)$

$I = \frac{\pi^3}{3} + \pi a^2 + \frac{\pi}{2} b^2 - \pi^2 a + 4b$

$I$ を $a, b$ について平方完成する。

$I = \pi \left(a^2 - \pi a + \frac{\pi^2}{4}\right) - \frac{\pi^3}{4} + \frac{\pi}{2}b^2 + 4b + \frac{\pi^3}{3}$

$I = \pi \left(a - \frac{\pi}{2}\right)^2 + \frac{\pi}{2} \left(b^2 + \frac{8}{\pi}b + \frac{16}{\pi^2}\right) - \frac{8}{\pi} + \frac{\pi^3}{3} - \frac{\pi^3}{4}$

$I = \pi \left(a - \frac{\pi}{2}\right)^2 + \frac{\pi}{2} \left(b + \frac{4}{\pi}\right)^2 - \frac{8}{\pi} + \frac{\pi^3}{12}$

$I = \pi \left(a - \frac{\pi}{2}\right)^2 + \frac{\pi}{2} \left(b + \frac{4}{\pi}\right)^2 + \frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$

$I$ が最小となるのは、

$a = \frac{\pi}{2}, b = -\frac{4}{\pi}$ のときで、最小値は $\frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{\pi}{2}, b = -\frac{4}{\pi}$

最小値: $\frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$