与えられた累次積分および2重積分を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた累次積分および2重積分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(a) $\int_0^2 \int_1^4 xy \, dy \, dx$

まず内側の積分を計算します。

$\int_1^4 xy \, dy = x \int_1^4 y \, dy = x \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_1^4 = x \left( \frac{1}{2} (4^2 - 1^2) \right) = x \left( \frac{15}{2} \right) = \frac{15}{2} x$

次に外側の積分を計算します。

$\int_0^2 \frac{15}{2} x \, dx = \frac{15}{2} \int_0^2 x \, dx = \frac{15}{2} \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^2 = \frac{15}{2} \left( \frac{1}{2} (2^2 - 0^2) \right) = \frac{15}{2} (2) = 15$

(b) $\int_1^4 \int_0^2 (y - xy^2 + 4xy) \, dx \, dy$

まず内側の積分を計算します。

$\int_0^2 (y - xy^2 + 4xy) \, dx = \int_0^2 y \, dx - \int_0^2 xy^2 \, dx + \int_0^2 4xy \, dx = y \int_0^2 dx - y^2 \int_0^2 x \, dx + 4y \int_0^2 x \, dx = y [x]_0^2 - y^2 \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^2 + 4y \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^2 = y(2-0) - y^2 \left( \frac{1}{2} (2^2 - 0^2) \right) + 4y \left( \frac{1}{2} (2^2 - 0^2) \right) = 2y - 2y^2 + 8y = 10y - 2y^2$

次に外側の積分を計算します。

$\int_1^4 (10y - 2y^2) \, dy = \int_1^4 10y \, dy - \int_1^4 2y^2 \, dy = 10 \int_1^4 y \, dy - 2 \int_1^4 y^2 \, dy = 10 \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_1^4 - 2 \left[ \frac{1}{3} y^3 \right]_1^4 = 10 \left( \frac{1}{2} (4^2 - 1^2) \right) - 2 \left( \frac{1}{3} (4^3 - 1^3) \right) = 10 \left( \frac{15}{2} \right) - 2 \left( \frac{63}{3} \right) = 75 - 42 = 33$

(a) $\iint_D (x^2 + 2xy + y^2) \, dx \, dy$, $D: -1 \le x \le 1, 2 \le y \le 3$

$\iint_D (x^2 + 2xy + y^2) \, dx \, dy = \int_{-1}^1 \int_2^3 (x^2 + 2xy + y^2) \, dy \, dx = \int_{-1}^1 \int_2^3 (x+y)^2 \, dy \, dx$

まず内側の積分を計算します。

$\int_2^3 (x+y)^2 \, dy = \left[ \frac{1}{3} (x+y)^3 \right]_2^3 = \frac{1}{3} ((x+3)^3 - (x+2)^3) = \frac{1}{3} (x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - (x^3 + 6x^2 + 12x + 8)) = \frac{1}{3} (3x^2 + 15x + 19) = x^2 + 5x + \frac{19}{3}$

次に外側の積分を計算します。

$\int_{-1}^1 \left( x^2 + 5x + \frac{19}{3} \right) \, dx = \int_{-1}^1 x^2 \, dx + 5 \int_{-1}^1 x \, dx + \frac{19}{3} \int_{-1}^1 dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{-1}^1 + 5 \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{-1}^1 + \frac{19}{3} [x]_{-1}^1 = \frac{1}{3} (1 - (-1)) + 5 \left( \frac{1}{2} (1 - 1) \right) + \frac{19}{3} (1 - (-1)) = \frac{2}{3} + 0 + \frac{38}{3} = \frac{40}{3}$

(b) $\iint_D (x^2 + 2xy) \, dx \, dy$, $D: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x$

$\iint_D (x^2 + 2xy) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^x (x^2 + 2xy) \, dy \, dx$

まず内側の積分を計算します。

$\int_0^x (x^2 + 2xy) \, dy = \left[ x^2 y + xy^2 \right]_0^x = x^2(x) + x(x^2) - (0 + 0) = x^3 + x^3 = 2x^3$

次に外側の積分を計算します。

$\int_0^1 2x^3 \, dx = 2 \int_0^1 x^3 \, dx = 2 \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{4} (1^4 - 0^4) \right) = 2 \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(a) 15

(b) 33

(a) 40/3

(b) 1/2