(1) 関数 $y = \frac{1}{x(\log x)^2}$ が $x > 1$ において単調減少であることを示す。 (2) 不定積分 $\int \frac{1}{x(\log x)^2} dx$ を求める。 (3) $n$ を3以上の整数とするとき、不等式 $\sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k(\log k)^2} < \frac{1}{\log 2}$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{1}{x(\log x)^2}$ が $x > 1$ において単調減少であることを示す。

(2) 不定積分 $\int \frac{1}{x(\log x)^2} dx$ を求める。

(3) $n$ を3以上の整数とするとき、不等式 $\sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k(\log k)^2} < \frac{1}{\log 2}$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x(\log x)^2}$ の導関数を計算し、$x > 1$ において導関数が負であることを示す。

$y = \frac{1}{x(\log x)^2}$ の導関数は、積の微分法を使って求めます。

$y' = -\frac{(\log x)^2 + 2x \log x \cdot \frac{1}{x}}{(x(\log x)^2)^2} = -\frac{(\log x)^2 + 2\log x}{x^2 (\log x)^4} = -\frac{\log x (\log x + 2)}{x^2 (\log x)^4} = -\frac{\log x + 2}{x^2 (\log x)^3}$

$x > 1$ のとき、$\log x > 0$ なので、$\log x + 2 > 0$ であり、$x^2 > 0$、$(\log x)^3 > 0$ である。

したがって、$y' = -\frac{\log x + 2}{x^2 (\log x)^3} < 0$ となり、$x > 1$ で $y$ は単調減少である。

(2) $\int \frac{1}{x(\log x)^2} dx$ を求める。

$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となるので、

$\int \frac{1}{x(\log x)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{\log x} + C$ (C は積分定数)

(3) 不等式 $\sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k(\log k)^2} < \frac{1}{\log 2}$ を示す。

(1)より、$f(x) = \frac{1}{x(\log x)^2}$ は $x > 1$ で単調減少なので、

$\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x(\log x)^2} dx > \frac{1}{(k+1)(\log(k+1))^2}$ が成り立つ。

$\int_{2}^{n} \frac{1}{x(\log x)^2} dx = \sum_{k=2}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x(\log x)^2} dx$ と書ける。

したがって、

$\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x (\log x)^2} dx > \frac{1}{(k+1)(\log (k+1))^2}$

$\int_{2}^{n} \frac{1}{x (\log x)^2} dx = \int_{2}^{n} \frac{1}{x (\log x)^2} dx = [-\frac{1}{\log x}]_{2}^{n} = -\frac{1}{\log n} + \frac{1}{\log 2}$

$\sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k(\log k)^2} < \int_{2}^{n} \frac{1}{x(\log x)^2} dx = \frac{1}{\log 2} - \frac{1}{\log n} < \frac{1}{\log 2}$

3. 最終的な答え

(1) $x > 1$ で $y' < 0$ であるから、関数 $y = \frac{1}{x(\log x)^2}$ は単調減少。

(2) $\int \frac{1}{x(\log x)^2} dx = -\frac{1}{\log x} + C$

(3) $\sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k(\log k)^2} < \frac{1}{\log 2}$