AとBが正則行列であるとき、以下の2つの事柄を示す問題です。 (1) $A^{-1}$ は正則行列であり、その逆行列 $(A^{-1})^{-1}$ は $A$ であることを示す。 (2) $AB$ は正則行列であり、その逆行列 $(AB)^{-1}$ は $B^{-1}A^{-1}$ であることを示す。

1. 問題の内容

AとBが正則行列であるとき、以下の2つの事柄を示す問題です。

(1) $A^{-1}$ は正則行列であり、その逆行列 $(A^{-1})^{-1}$ は $A$ であることを示す。

(2) $AB$ は正則行列であり、その逆行列 $(AB)^{-1}$ は $B^{-1}A^{-1}$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $A$ が正則行列であるとき、逆行列 $A^{-1}$ が存在し、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ が成り立ちます。ここで、$I$ は単位行列です。

$A^{-1}$ が正則行列であることを示すには、$A^{-1}$ にある行列を掛けて単位行列 $I$ になることを示せば良いです。

$A^{-1}$ に $A$ を掛けると、$A(A^{-1}) = (A^{-1})A = I$ となるので、$A^{-1}$ の逆行列は $A$ であると言えます。すなわち、$(A^{-1})^{-1} = A$ です。

したがって、$A^{-1}$ は正則行列であり、その逆行列は $A$ です。

(2) $A$ と $B$ が正則行列であるとき、逆行列 $A^{-1}$ と $B^{-1}$ が存在し、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ および $BB^{-1} = B^{-1}B = I$ が成り立ちます。

$AB$ が正則行列であることを示すには、$AB$ にある行列を掛けて単位行列 $I$ になることを示せば良いです。

$AB$ に $B^{-1}A^{-1}$ を掛けてみます。

$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$

同様に、$B^{-1}A^{-1}$ に $AB$ を掛けてみます。

$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = B^{-1}B = I$

したがって、$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = (B^{-1}A^{-1})(AB) = I$ となるので、$AB$ の逆行列は $B^{-1}A^{-1}$ であると言えます。すなわち、$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ です。

したがって、$AB$ は正則行列であり、その逆行列は $B^{-1}A^{-1}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A^{-1}$ は正則行列であり、その逆行列 $(A^{-1})^{-1}$ は $A$ である。

(2) 行列 $AB$ は正則行列であり、その逆行列 $(AB)^{-1}$ は $B^{-1}A^{-1}$ である。