複素数 $z$ に関する方程式 $\bar{z}z + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $\bar{z}z + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおきます。すると、$\bar{z} = x - yi$ となります。

これらを元の式に代入します。

$(x-yi)(x+yi) + (3-3i)(x+yi) + (3+3i)(x-yi) + 2 = 0$

$x^2 + y^2 + (3x + 3yi - 3ix + 3y) + (3x - 3yi + 3ix + 3y) + 2 = 0$

$x^2 + y^2 + 3x + 3yi - 3ix + 3y + 3x - 3yi + 3ix + 3y + 2 = 0$

$x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2 = 0$

$(x^2 + 6x) + (y^2 + 6y) + 2 = 0$

平方完成を行います。

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 2 = 0$

$(x+3)^2 + (y+3)^2 - 18 + 2 = 0$

$(x+3)^2 + (y+3)^2 = 16$

これは、中心が $(-3, -3)$ で半径が $4$ の円を表します。したがって、$z = x + yi$ は、$z = -3 - 3i + 4e^{i\theta}$ （$\theta$は実数）と表されます。

円の方程式の標準形から、

$(x+3)^2 + (y+3)^2 = 4^2$

3. 最終的な答え

$(x+3)^2 + (y+3)^2 = 16$

または

$z = -3 - 3i + 4e^{i\theta}$ ( $\theta$は実数)