$p$ を素数、$a$ を整数とするとき、以下の関係が成り立つことを証明します。また、4.については、不等号が等号になる場合とそうでない場合の例を挙げます。 1. $\mathrm{ord}_p(-a) = \mathrm{ord}_p(a)$

1. 問題の内容

$p$ を素数、$a$ を整数とするとき、以下の関係が成り立つことを証明します。また、4.については、不等号が等号になる場合とそうでない場合の例を挙げます。

1. $\mathrm{ord}_p(-a) = \mathrm{ord}_p(a)$

2. $\mathrm{ord}_p(a) = 0 \Leftrightarrow p \nmid a$

3. $\mathrm{ord}_p(ab) = \mathrm{ord}_p(a) + \mathrm{ord}_p(b)$

4. $\mathrm{ord}_p(a+b) \geq \min\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\}$

5. $\mathrm{ord}_p(\gcd(a,b)) = \min\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\}$

6. $\mathrm{ord}_p(\mathrm{lcm}(a,b)) = \max\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\}$

2. 解き方の手順

1. $\mathrm{ord}_p(a)$ は $a$ を割り切る $p$ の最大のベキ指数を表します。つまり、$p^k \mid a$ かつ $p^{k+1} \nmid a$ となる $k$ が $\mathrm{ord}_p(a)$ です。$-a$ を割り切る $p$ の最大のベキ指数は、$a$ を割り切る $p$ の最大のベキ指数と同じなので、$\mathrm{ord}_p(-a) = \mathrm{ord}_p(a)$ が成り立ちます。

2. $\mathrm{ord}_p(a) = 0$ は、$p^0 \mid a$ かつ $p^1 \nmid a$ を意味します。これは $p \nmid a$ と同値です。

3. $a = p^k a'$ および $b = p^l b'$ と表します。ただし、$p \nmid a'$ かつ $p \nmid b'$ とします。このとき、$ab = p^{k+l} a'b'$ であり、$p \nmid a'b'$ であるため、$\mathrm{ord}_p(ab) = k+l = \mathrm{ord}_p(a) + \mathrm{ord}_p(b)$ となります。

4. $a = p^k a'$ および $b = p^l b'$ と表します。ただし、$p \nmid a'$ かつ $p \nmid b'$ とします。$k \leq l$ と仮定すると、$\min\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\} = k$ となります。このとき、$a+b = p^k a' + p^l b' = p^k (a' + p^{l-k} b')$ となります。ここで、$a' + p^{l-k}b'$ は $p$ で割り切れるかもしれないため、$\mathrm{ord}_p(a+b) \geq k = \min\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\}$ となります。

- 等号が成り立つ例: $p=2, a=2, b=3$ のとき、$\mathrm{ord}_2(2+3) = \mathrm{ord}_2(5) = 0$ であり、$\min\{\mathrm{ord}_2(2), \mathrm{ord}_2(3)\} = \min\{1, 0\} = 0$ なので、$\mathrm{ord}_2(2+3) = \min\{\mathrm{ord}_2(2), \mathrm{ord}_2(3)\}$ です。

- 等号が成り立たない例: $p=2, a=2, b=2$ のとき、$\mathrm{ord}_2(2+2) = \mathrm{ord}_2(4) = 2$ であり、$\min\{\mathrm{ord}_2(2), \mathrm{ord}_2(2)\} = \min\{1, 1\} = 1$ なので、$\mathrm{ord}_2(2+2) > \min\{\mathrm{ord}_2(2), \mathrm{ord}_2(2)\}$ です。

5. $a = p^k a'$ および $b = p^l b'$ と表します。ただし、$p \nmid a'$ かつ $p \nmid b'$ とします。すると、$d = \gcd(a,b) = p^{\min\{k,l\}} \gcd(a', b')$ となります。$\gcd(a',b')$ は $p$ で割り切れないため、$\mathrm{ord}_p(\gcd(a,b)) = \min\{k,l\} = \min\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\}$ となります。

6. $a = p^k a'$ および $b = p^l b'$ と表します。ただし、$p \nmid a'$ かつ $p \nmid b'$ とします。すると、$m = \mathrm{lcm}(a,b) = p^{\max\{k,l\}} \mathrm{lcm}(a', b')$ となります。$\mathrm{lcm}(a',b')$ は $p$ で割り切れないため、$\mathrm{ord}_p(\mathrm{lcm}(a,b)) = \max\{k,l\} = \max\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\}$ となります。

3. 最終的な答え

1. $\mathrm{ord}_p(-a) = \mathrm{ord}_p(a)$

2. $\mathrm{ord}_p(a) = 0 \Leftrightarrow p \nmid a$

3. $\mathrm{ord}_p(ab) = \mathrm{ord}_p(a) + \mathrm{ord}_p(b)$

4. $\mathrm{ord}_p(a+b) \geq \min\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\}$。等号が成り立つ例：$p=2, a=2, b=3$。等号が成り立たない例：$p=2, a=2, b=2$。

5. $\mathrm{ord}_p(\gcd(a,b)) = \min\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\}$

6. $\mathrm{ord}_p(\mathrm{lcm}(a,b)) = \max\{\mathrm{ord}_p(a), \mathrm{ord}_p(b)\}$