写像 $f: X \to Y$ と、集合 $X$ の部分集合 $A$、集合 $Y$ の部分集合 $C$ について、以下の命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。 (1) $f$ が全射ならば、$f^{-1}(f(A)) \subset A$. (2) $f$ が単射ならば、$f^{-1}(f(A)) \subset A$. (3) $f$ が全射ならば、$C \subset f(f^{-1}(C))$. (4) $f$ が単射ならば、$C \subset f(f^{-1}(C))$.

1. 問題の内容

写像 $f: X \to Y$ と、集合 $X$ の部分集合 $A$、集合 $Y$ の部分集合 $C$ について、以下の命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。

(1) $f$ が全射ならば、$f^{-1}(f(A)) \subset A$.

(2) $f$ が単射ならば、$f^{-1}(f(A)) \subset A$.

(3) $f$ が全射ならば、$C \subset f(f^{-1}(C))$.

(4) $f$ が単射ならば、$C \subset f(f^{-1}(C))$.

2. 解き方の手順

(1) $f$ が全射ならば、$f^{-1}(f(A)) \subset A$.

これは正しくない。反例を挙げる。

$X = \{1, 2\}, Y = \{3\}$, $A = \{1\}$. $f(1) = f(2) = 3$.

このとき $f(A) = \{3\}$, $f^{-1}(f(A)) = f^{-1}(\{3\}) = \{1, 2\} \not\subset \{1\} = A$.

(2) $f$ が単射ならば、$f^{-1}(f(A)) \subset A$.

これは正しくない。$f^{-1}(f(A)) \supset A$ は常に成り立つ。

$f$ が単射のとき、$f^{-1}(f(A)) = A$ となる。

$x \in A$ ならば $f(x) \in f(A)$ であり、$x \in f^{-1}(f(A))$ となる。

逆に、$x \in f^{-1}(f(A))$ とすると $f(x) \in f(A)$ となる。

$f(x) = f(a)$ となる $a \in A$ が存在する。

$f$ は単射なので $x = a$. よって $x \in A$.

したがって、$f^{-1}(f(A)) = A \subset A$.

$f^{-1}(f(A)) = A$ であるから $f^{-1}(f(A)) \subset A$ は成り立つ。

(3) $f$ が全射ならば、$C \subset f(f^{-1}(C))$.

$f$ が全射であることは関係なく、これは常に成り立つ。

$y \in C$ とする。$f^{-1}(C)$ は $C$ の逆像であるから、$f^{-1}(C) = \{x \in X | f(x) \in C\}$.

したがって $f(f^{-1}(C)) = \{f(x) | x \in f^{-1}(C)\}$.

$f^{-1}(C)$ の定義から、$y \in C$ ならば、$x \in f^{-1}(C)$ が存在して $f(x) = y$.

したがって、$y \in f(f^{-1}(C))$. よって、$C \subset f(f^{-1}(C))$.

(4) $f$ が単射ならば、$C \subset f(f^{-1}(C))$.

(3) で示したように、$C \subset f(f^{-1}(C))$ は、$f$ が単射であることは関係なく常に成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 反例：$X = \{1, 2\}, Y = \{3\}$, $A = \{1\}$. $f(1) = f(2) = 3$.

(2) 正しい。

(3) 正しい。

(4) 正しい。