集合の記号や論理記号を用いて、以下の定義を記述する問題です。 (1) 集合 $X$ の部分集合 $A$ に対する、写像 $f: X \rightarrow Y$ による $A$ の像 $f(A)$。 (2) 集合 $Y$ の部分集合 $B$ に対する、写像 $f: X \rightarrow Y$ による $B$ の逆像 $f^{-1}(B)$。 (3) 写像 $f: X \rightarrow Y$ が全射であること。 (4) 写像 $f: X \rightarrow Y$ が単射であること。

1. 問題の内容

集合の記号や論理記号を用いて、以下の定義を記述する問題です。

(1) 集合 $X$ の部分集合 $A$ に対する、写像 $f: X \rightarrow Y$ による $A$ の像 $f(A)$。

(2) 集合 $Y$ の部分集合 $B$ に対する、写像 $f: X \rightarrow Y$ による $B$ の逆像 $f^{-1}(B)$。

(3) 写像 $f: X \rightarrow Y$ が全射であること。

(4) 写像 $f: X \rightarrow Y$ が単射であること。

2. 解き方の手順

(1) $A$ の像 $f(A)$ の定義:

$f(A)$ は、集合 $A$ の各要素 $x$ を写像 $f$ で写した結果の集合です。

$f(A) = \{ y \in Y \mid \exists x \in A, y = f(x) \}$

(2) $B$ の逆像 $f^{-1}(B)$ の定義:

$f^{-1}(B)$ は、写像 $f$ によって $B$ の要素に移される $X$ の要素の集合です。

$f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$

(3) 全射の定義:

写像 $f: X \rightarrow Y$ が全射であるとは、$Y$ の任意の要素 $y$ に対して、$f(x) = y$ となる $X$ の要素 $x$ が存在することです。

$\forall y \in Y, \exists x \in X, f(x) = y$

(4) 単射の定義:

写像 $f: X \rightarrow Y$ が単射であるとは、$X$ の異なる要素 $x_1$ と $x_2$ に対して、$f(x_1) \neq f(x_2)$ であることです。別の言い方をすると、$f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ が成り立つことです。

$\forall x_1, x_2 \in X, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$

または

$\forall x_1, x_2 \in X, x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

3. 最終的な答え

(1) $f(A) = \{ y \in Y \mid \exists x \in A, y = f(x) \}$

(2) $f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}$

(3) $\forall y \in Y, \exists x \in X, f(x) = y$

(4) $\forall x_1, x_2 \in X, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$