与えられた複素数 $z$ に関する方程式 $z\overline{z} + (3-3i)z + (3+3i)\overline{z} + 2 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた複素数 $z$ に関する方程式 $z\overline{z} + (3-3i)z + (3+3i)\overline{z} + 2 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + yi$ (ただし $x, y$ は実数) とおくと、$\overline{z} = x - yi$ となります。

これを元の式に代入します。

$(x + yi)(x - yi) + (3 - 3i)(x + yi) + (3 + 3i)(x - yi) + 2 = 0$

$x^2 + y^2 + (3x + 3yi - 3xi + 3y) + (3x - 3yi + 3xi + 3y) + 2 = 0$

$x^2 + y^2 + 3x + 3yi - 3xi + 3y + 3x - 3yi + 3xi + 3y + 2 = 0$

$x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2 = 0$

平方完成を行います。

$(x^2 + 6x) + (y^2 + 6y) + 2 = 0$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) + 2 - 9 - 9 = 0$

$(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 16$

これは、中心が $(-3, -3)$ で半径が $\sqrt{16} = 4$ の円を表します。

複素数平面上では、中心 $-3 - 3i$ 、半径 $4$ の円となります。

3. 最終的な答え

$(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 16$

または、

$|z + 3 + 3i| = 4$