方程式 $x^2 + y^2 + 2mx + m = 0$ が円を表すような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。問題175を解きます。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 + 2mx + m = 0$ が円を表すような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を円の方程式の標準形に変形します。標準形は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ であり、$(a, b)$ は円の中心、$r$ は半径を表します。

与えられた方程式 $x^2 + y^2 + 2mx + m = 0$ を平方完成します。

$x^2 + 2mx + y^2 + m = 0$

$x^2 + 2mx + m^2 + y^2 = m^2 - m$

$(x + m)^2 + y^2 = m^2 - m$

この方程式が円を表すためには、右辺が正である必要があります。したがって、$m^2 - m > 0$ を満たす必要があります。

$m^2 - m > 0$

$m(m - 1) > 0$

この不等式を解きます。$m(m-1) = 0$となるのは、$m = 0$ または $m = 1$ のときです。

$m < 0$ のとき、$m$ は負、$m - 1$ も負なので、$m(m-1)$ は正になります。

$0 < m < 1$ のとき、$m$ は正、$m - 1$ は負なので、$m(m-1)$ は負になります。

$m > 1$ のとき、$m$ は正、$m - 1$ も正なので、$m(m-1)$ は正になります。

したがって、$m(m-1) > 0$ を満たすのは、$m < 0$ または $m > 1$ のときです。

3. 最終的な答え

$m < 0$ または $m > 1$