与えられたエネルギー保存則 $\frac{1}{2}mv^2 + mgy = \text{const.}$ を時間 $t$ で微分した式を求める問題です。ここで、$m$ は質点の質量、$v$ は質点の速度、$g$ は重力加速度、$y$ は質点の位置を表します。

1. 問題の内容

与えられたエネルギー保存則 $\frac{1}{2}mv^2 + mgy = \text{const.}$ を時間 $t$ で微分した式を求める問題です。ここで、$m$ は質点の質量、$v$ は質点の速度、$g$ は重力加速度、$y$ は質点の位置を表します。

2. 解き方の手順

エネルギー保存則の両辺を時間 $t$ で微分します。

左辺の微分:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 + mgy \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) + \frac{d}{dt} (mgy)$

質量 $m$ と重力加速度 $g$ は時間的に一定なので、

$\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) = \frac{1}{2}m \frac{d}{dt}(v^2) = \frac{1}{2}m (2v) \frac{dv}{dt} = mv \frac{dv}{dt}$

$\frac{d}{dt} (mgy) = mg \frac{dy}{dt}$

右辺の微分:

$\frac{d}{dt} (\text{const.}) = 0$

したがって、微分した式は以下のようになります。

$mv \frac{dv}{dt} + mg \frac{dy}{dt} = 0$

ここで、$\frac{dv}{dt}$ は加速度 $a$ を表し、$\frac{dy}{dt}$ は速度 $v$ を表すので、

$mva + mgv = 0$

$v(ma+mg)=0$

3. 最終的な答え

エネルギー保存則を時間で微分した式は以下の通りです。

$mv \frac{dv}{dt} + mg \frac{dy}{dt} = 0$

または、

$v(ma+mg)=0$