与えられたベクトルの組に対して、ベクトル積（外積）を計算する問題です。具体的には、以下の2つのベクトル組について、$A \times B$ を計算します。 (1) $A = 2a_x + a_y$, $B = a_x + a_y + a_z$ (2) $A = 2a_x - 3a_y + 2a_z$, $B = -a_x + a_z$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組に対して、ベクトル積（外積）を計算する問題です。具体的には、以下の2つのベクトル組について、$A \times B$ を計算します。

(1) $A = 2a_x + a_y$, $B = a_x + a_y + a_z$

(2) $A = 2a_x - 3a_y + 2a_z$, $B = -a_x + a_z$

2. 解き方の手順

ベクトル積は、行列式を用いて計算できます。

$A = A_x a_x + A_y a_y + A_z a_z$、

$B = B_x a_x + B_y a_y + B_z a_z$

とすると、ベクトル積 $A \times B$ は次のように計算できます。

$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = (A_y B_z - A_z B_y)a_x - (A_x B_z - A_z B_x)a_y + (A_x B_y - A_y B_x)a_z$

(1) の場合、$A = 2a_x + a_y + 0a_z$, $B = a_x + a_y + a_z$ ですから、

$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)a_x - (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1)a_y + (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)a_z = a_x - 2a_y + a_z$

(2) の場合、$A = 2a_x - 3a_y + 2a_z$, $B = -a_x + 0a_y + a_z$ ですから、

$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-3 \cdot 1 - 2 \cdot 0)a_x - (2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1))a_y + (2 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1))a_z = -3a_x - 4a_y - 3a_z$

3. 最終的な答え

(1) $A \times B = a_x - 2a_y + a_z$

(2) $A \times B = -3a_x - 4a_y - 3a_z$