与えられたポテンシャル関数 $V(x, y) = \frac{ax^2y}{2} + \frac{y^3}{3}$ を持つ保存力 $(F_x, F_y)$ を求めます。ここで、$a$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられたポテンシャル関数 $V(x, y) = \frac{ax^2y}{2} + \frac{y^3}{3}$ を持つ保存力 $(F_x, F_y)$ を求めます。ここで、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

保存力は、ポテンシャル関数の勾配の負の符号で与えられます。つまり、

$F_x = -\frac{\partial V}{\partial x}$

$F_y = -\frac{\partial V}{\partial y}$

です。

まず、$V(x, y)$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{ax^2y}{2} + \frac{y^3}{3} \right) = \frac{a(2x)y}{2} + 0 = axy$

次に、$V(x, y)$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{ax^2y}{2} + \frac{y^3}{3} \right) = \frac{ax^2}{2} + \frac{3y^2}{3} = \frac{ax^2}{2} + y^2$

したがって、保存力 $(F_x, F_y)$ は、

$F_x = -axy$

$F_y = -\left( \frac{ax^2}{2} + y^2 \right) = -\frac{ax^2}{2} - y^2$

3. 最終的な答え

$F_x = -axy$

$F_y = -\frac{ax^2}{2} - y^2$

したがって、保存力は

$(F_x, F_y) = \left( -axy, -\frac{ax^2}{2} - y^2 \right)$

となります。