与えられた4組のベクトルA, Bについて、それぞれのベクトル積 $A \times B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4組のベクトルA, Bについて、それぞれのベクトル積 $A \times B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル積は、各成分の行列式として計算できます。つまり、$A = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}$、$B = b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}$のとき、$A \times B$ は次のようになります。

$A \times B = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y) \mathbf{i} - (a_x b_z - a_z b_x) \mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \mathbf{k}$

この公式を用いて、各組のベクトル積を計算します。$\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$ はそれぞれ $a_x$, $a_y$, $a_z$ に置き換えて計算します。

(1) $A = 2a_x + a_y$, $B = a_x + a_y + a_z$

$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) a_x - (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) a_y + (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) a_z = a_x - 2a_y + a_z$

(2) $A = 2a_x - 3a_y + 2a_z$, $B = -a_x + a_z$

$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-3 \cdot 1 - 2 \cdot 0) a_x - (2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) a_y + (2 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) a_z = -3a_x - 4a_y - 3a_z$

(3) $A = -3a_x + 2a_y + a_z$, $B = a_x + 2a_y - a_z$

$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ -3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) a_x - ((-3) \cdot (-1) - 1 \cdot 1) a_y + ((-3) \cdot 2 - 2 \cdot 1) a_z = -4a_x - 2a_y - 8a_z$

(4) $A = -2a_x - 2a_y + 4a_z$, $B = \frac{1}{2}a_x - a_y + 3a_z$

$A \times B = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ -2 & -2 & 4 \\ \frac{1}{2} & -1 & 3 \end{vmatrix} = ((-2) \cdot 3 - 4 \cdot (-1)) a_x - ((-2) \cdot 3 - 4 \cdot \frac{1}{2}) a_y + ((-2) \cdot (-1) - (-2) \cdot \frac{1}{2}) a_z = -2a_x + 8a_y + 3a_z$

3. 最終的な答え

(1) $A \times B = a_x - 2a_y + a_z$

(2) $A \times B = -3a_x - 4a_y - 3a_z$

(3) $A \times B = -4a_x - 2a_y - 8a_z$

(4) $A \times B = -2a_x + 8a_y + 3a_z$