与えられたベクトル場 $\mathbf{A}(\mathbf{r}) = yz\mathbf{i} + 2zx\mathbf{j} + 3xy\mathbf{k}$ を、以下の3つの曲線 $C_1, C_2, C_3$ に沿って線積分する。 (1) $C_1$: $(0,0,0)$ から $(1,1,1)$ に至る最短経路 (線分) (2) $C_2$: $(0,0,0)$ から $(0,0,1)$ を通り $(1,1,1)$ に至る最短経路 (折れ線) (3) $C_3$: $\mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t\mathbf{j} + t^2\mathbf{k}$ $(0 \le t \le 1)$

1. 問題の内容

与えられたベクトル場 $\mathbf{A}(\mathbf{r}) = yz\mathbf{i} + 2zx\mathbf{j} + 3xy\mathbf{k}$ を、以下の3つの曲線 $C_1, C_2, C_3$ に沿って線積分する。

(1) $C_1$: $(0,0,0)$ から $(1,1,1)$ に至る最短経路 (線分)

(2) $C_2$: $(0,0,0)$ から $(0,0,1)$ を通り $(1,1,1)$ に至る最短経路 (折れ線)

(3) $C_3$: $\mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t\mathbf{j} + t^2\mathbf{k}$ $(0 \le t \le 1)$

2. 解き方の手順

(1) $C_1$：

$C_1$ は $(0,0,0)$ から $(1,1,1)$ への線分なので、パラメータ表示は $\mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t\mathbf{j} + t\mathbf{k}$ $(0 \le t \le 1)$ となる。

したがって $x=t$, $y=t$, $z=t$ であり、 $d\mathbf{r} = (dx, dy, dz) = (dt, dt, dt)$ である。

$\mathbf{A}(\mathbf{r}(t)) = (t^2, 2t^2, 3t^2)$ となるので、

$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = (t^2, 2t^2, 3t^2) \cdot (dt, dt, dt) = t^2 dt + 2t^2 dt + 3t^2 dt = 6t^2 dt$ となる。

したがって線積分は、

$\int_{C_1} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 6t^2 dt = 6 \int_0^1 t^2 dt = 6 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$

(2) $C_2$：

$C_2$ は $(0,0,0)$ から $(0,0,1)$ を通り $(1,1,1)$ に至る折れ線である。

$C_{2a}$: $(0,0,0)$ から $(0,0,1)$ への線分: $\mathbf{r}(t) = (0, 0, t)$, $0 \le t \le 1$.

$x=0$, $y=0$, $z=t$. $dx=0, dy=0, dz=dt$. $\mathbf{A} = (0, 0, 0)$.

$\int_{C_{2a}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 (0, 0, 0) \cdot (0, 0, dt) = 0$.

$C_{2b}$: $(0,0,1)$ から $(1,1,1)$ への線分: $\mathbf{r}(t) = (t, t, 1)$, $0 \le t \le 1$.

$x=t$, $y=t$, $z=1$. $dx=dt, dy=dt, dz=0$. $\mathbf{A} = (t, 2t, 3t^2)$.

$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = (t, 2t, 3t^2) \cdot (dt, dt, 0) = t dt + 2t dt = 3t dt$.

$\int_{C_{2b}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 3t dt = 3 \int_0^1 t dt = 3 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

したがって、$\int_{C_2} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C_{2a}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_{2b}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

(3) $C_3$：

$\mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t\mathbf{j} + t^2\mathbf{k}$ $(0 \le t \le 1)$。

$x=t$, $y=t$, $z=t^2$. $dx=dt, dy=dt, dz=2t dt$.

$\mathbf{A} = (yz, 2zx, 3xy) = (t^3, 2t^3, 3t^2)$.

$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = (t^3, 2t^3, 3t^2) \cdot (dt, dt, 2t dt) = t^3 dt + 2t^3 dt + 6t^3 dt = 9t^3 dt$.

$\int_{C_3} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 9t^3 dt = 9 \int_0^1 t^3 dt = 9 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^1 = 9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $\int_{C_1} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = 2$

(2) $\int_{C_2} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \frac{3}{2}$

(3) $\int_{C_3} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \frac{9}{4}$