与えられたエネルギー保存則の式 $\frac{1}{2}mv^2 + mgy = \text{const.}$ の両辺を時間 $t$ で微分した式を求める問題です。ここで、$m$ は質点の質量、$v$ は質点の速度、$g$ は重力加速度、$y$ は質点の位置を表し、$\text{const.}$ は定数を表します。

1. 問題の内容

与えられたエネルギー保存則の式 $\frac{1}{2}mv^2 + mgy = \text{const.}$ の両辺を時間 $t$ で微分した式を求める問題です。ここで、$m$ は質点の質量、$v$ は質点の速度、$g$ は重力加速度、$y$ は質点の位置を表し、$\text{const.}$ は定数を表します。

2. 解き方の手順

まず、与えられたエネルギー保存則の式を時間 $t$ で微分します。

$\frac{d}{dt} (\frac{1}{2}mv^2 + mgy) = \frac{d}{dt}(\text{const.})$

左辺の微分を計算します。$m$ と $g$ は定数なので、

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{2}m \frac{d}{dt}(v^2) = \frac{1}{2}m (2v \frac{dv}{dt}) = mv \frac{dv}{dt}$

$\frac{d}{dt}(mgy) = mg \frac{dy}{dt}$

ここで、$\frac{dv}{dt}$ は加速度 $a$ を表し、$\frac{dy}{dt}$ は速度 $v$ を表すので、

$mv \frac{dv}{dt} + mg \frac{dy}{dt} = mva + mgv$

右辺の定数の微分は0なので、

$\frac{d}{dt}(\text{const.}) = 0$

したがって、微分した式は次のようになります。

$mva + mgv = 0$

$mv(a+g) = 0$

$v$が0でないとき、

$a+g=0$

3. 最終的な答え

エネルギー保存則の両辺を時間で微分した式は次のようになります。

$mv \frac{dv}{dt} + mg \frac{dy}{dt} = 0$

または

$mva + mgv = 0$

または

$mv(a+g) = 0$

もし$v \neq 0$ならば

$a+g = 0$

または

$a = -g$